Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên n ≥ 1

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} – 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} – 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) – 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

LG b

(u­_n) là môt dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} – {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} – {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} – 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

 Sachgiaihay.com