Giải bài 6.30 trang 28 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) $y =  – {x^2} + 6x – 9$

b) $y =  – {x^2} – 4x + 1$

c) $y = {x^2} + 4x$

d) $y = 2{x^2} + 2x + 1.$

Lời giải chi tiết

a) $y =  – {x^2} + 6x – 9$

Ta có: $a =  – 1$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I\left( {3;0} \right).$ Trục đối xứng $x = 3.$ Giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là: $A\left( {0; – 9} \right).$ Parabol cắt trục hoành tại $x = 3.$

Tập giá trị của hàm số là: $\left( { – \infty ;0} \right].$

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y =  – {x^2} + 6x – 9$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;3} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right).$

b) $y =  – {x^2} – 4x + 1$

Ta có: $a =  – 1$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I\left( { – 2;5} \right).$ Trục đối xứng $x =  – 2.$ Giao điểm của hàm số với trục $Oy$ là: $\left( {0;1} \right).$ Giao điểm của hàm số với trục $Ox$ là: $x =  – 2 + \sqrt 5$ và $x =  – 2 – \sqrt 5 .$

Tập giá trị của hàm số là: $\left( { – \infty ;5} \right].$

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y =  – {x^2} – 4x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { – 2; + \infty } \right).$

c) $y = {x^2} + 4x$

Ta có: $a = 1 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.

Đỉnh $I\left( { – 2; – 4} \right).$ Trục đối xứng $x =  – 2.$ Giao điểm của hàm số với trục $Oy$ là: $\left( {0;0} \right).$ Giao điểm của hàm số với trục $Ox$ là: $x = 0$ và $x =  – 4.$

Tập giá trị của hàm số là: $\left[ { – 4; + \infty } \right).$

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = {x^2} + 4x$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right).$

d) $y = 2{x^2} + 2x + 1$

Ta có: $a = 2 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.

Đỉnh $I\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).$ Trục đối xứng $x =  – \frac{1}{2}.$ giao điểm của hàm số với trục $Oy$ là: $\left( {0;1} \right).$ Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $Ox.$ Lấy điểm $\left( {1;5} \right)$ thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng với điểm đó qua trục đối xứng $x =  – \frac{1}{2}$ là: $\left( { – 2;5} \right).$

Tập giá trị của hàm số là: $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = 2{x^2} + 2x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right).$