Giải bài 2.12 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Biết hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của ${(1 – 3x)^n}$ là 90. Tìm n.

Lời giải chi tiết

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(1 – 3x)^n}$ hay ${( – 3x + 1)^n}$ là $C_n^{n – k}{( – 3x)^k}{1^{n – k}}$

Số hạng chứa ${x^2}$ ứng với $k = 2$, tức là số hạng $C_n^{n – 2}{( – 3x)^2}$ hay $9.C_n^{n – 2}$

Do đó $9.C_n^{n – 2} = 90 \Leftrightarrow C_n^{n – 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!(n – (n – 2))!}} = 10$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!2!}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow {n^2} – n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  – 4\;(L)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $n = 5$ thì hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của ${(1 – 3x)^n}$ là 90.