Giải bài 2.14 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức

 $x{\left( {1 – 2x} \right)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}$

Lời giải chi tiết

+) Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {1 – 2x} \right)^5}$

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${\left( {1 – 2x} \right)^5}$ hay ${\left( { – 2x + 1} \right)^5}$ là $C_5^{5 – k}{( – 2x)^k}{1^{5 – k}}$

Số hạng chứa ${x^4}$ ứng với $k = 4$, tức là số hạng $C_5^1{( – 2x)^4}$ hay $80{x^4}$

Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển của ${\left( {1 – 2x} \right)^5}$ là $80.$

+) Tìm hệ số của ${x^3}$ trong khai triển thành đa thức của ${(1 + 3x)^{10}}$

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(1 + 3x)^{10}}$ hay ${(3x + 1)^{10}}$ là $C_{10}^{10 – k}{(3x)^k}{1^{10 – k}}$

Số hạng chứa ${x^3}$ ứng với $k = 3$, tức là số hạng $C_{10}^7{(3x)^3}$ hay $3240{x^3}$

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển của ${(1 + 3x)^{10}}$ là $3240.$

=> Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức đã cho là 3320.