1. Phương pháp giải bài toán về chữ số tận cùng

Ví dụ 1: 

Không thực hiện các phép tính, tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:

(2001 + 2002 +….+ 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109)

Giải:

Ta thấy chữ số tận cùng của tổng 2001 + 2002 +….+ 2009 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9 => 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5

Chữ số tận cùng của tổng 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9 => 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5

Vậy (2001 + 2002 +…. + 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) có chữ số tận cùng là 0.

Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:

123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79

Giải:

Tìm chữ số tận cùng của 123 x 235 x 347 x 459 x 561

Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 1 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5

=> 123 x 235 x 347 x 459 x 561 có chữ số tận cùng là 5

Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 5

Vậy 123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 0

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 (50 thừa số 3)

 Giải:

Ta có:  3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng 1.

Vì 50 : 3 = 16 dư 2

Vậy 50 thừa số 3 ta nhóm được 16 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số 3) và dư ra 2 thừa số 3

A = (3 x 3 x 3 x 3) x ….x (3 x 3 x 3 x 3) x 3 x 3

Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1

Vậy tích A có chữ số tận cùng là 9.

Ví dụ 4: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?

B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164

Giải:

Tích trên có số thừa số: (164 – 4) : 10 + 1 = 17 ( thừa số)

Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng là 6.

Vì 17 : 2 = 8 dư 1

Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm (mỗi nhóm 2 thừa số) và dư ra 1 thừa số.

B = (4 x 14) x (24 x 34) x …. x (144 x 154) x 164

Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tận cùng là 4

Vậy B có chữ số tận cùng là 4.

Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:

Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng

Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng

Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 6: Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

A = 1 x 2 x 3 x …. x 50

Giải:

Các thừa số chia hết cho 5 trong tích trên là 5 ; 10 ; 15 ; …. 50

Số thừa số chia hết cho 5 là (50 – 5) : 5 + 1 = 10 (số)

Có 2 thừa số chia hết cho 25 là 25 và 50.

Ta có 25 = 5 x 5 và 50 = 5 x 5 x 2

Số thừa số 5 trong tích là 10 + 2 = 12 (thừa số 5)

Số thừa số chẵn là (50 – 2) : 2 + 1 = 25 (số)

Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho tận cùng là 1 chữ số 0.

Vậy tích đã cho có 12 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 7: Cho X = A – B, biết:

A = 3 x 13 x 23 x…….x 2003 x 2013

B = 2 x 12 x 22 x ……..x 2002 x 2012

Hỏi X có chia hết cho 5 không?

Giải:

A có số các thừa số là: (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số)

B có số các thừa số là: (2012 – 2) : 10 + 1 = 202 (thừa số)

Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.

Vì 202 : 4 = 50 dư 2

Vậy A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3

=> A có tận cùng là 9.

Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.

Vì 202 : 4 = 50 dư 2

Vậy B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.

=> B tận cùng là 4.

Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.