Giải bài tập 7 trang 81 SGK Toán 12 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B’D’} \)

b) \(\overrightarrow {AC’} \) và \(\overrightarrow {BD} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1;1;1),\overrightarrow {AD}  = (0; – 1;0)\)

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = (\frac{1}{2};0;\frac{1}{2})\)

\( \Rightarrow C(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}) \Leftrightarrow CC’ = (\frac{5}{2};5;\frac{{ – 13}}{2})\)

Vì \(\overrightarrow {BB’}  = \overrightarrow {CC’}  \Rightarrow B'(\frac{9}{2};6; – \frac{9}{2})\);\(\overrightarrow {DD’}  = \overrightarrow {CC’}  \Rightarrow D'(\frac{7}{2};4; – \frac{{11}}{2})\)

\(\overrightarrow {B’D’}  = ( – 1; – 2;1)\)

\([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B’D’} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;0\;\;\;\;\frac{1}{2}\\ – 2\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\\\;1\;\;\;\;\; – 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;0\\ – 1\;\;\;\; – 2\end{array} \right|} \right) = (1; – 1; – 1)\)

Chọn \(\overrightarrow u  = (1; – 1; – 1)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B’D’} \)

b) \(\overrightarrow {AC’}  = (3;5; – 6)\), \(\overrightarrow {BD}  = ( – 1; – 2; – 1)\)

\([\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;5\;\;\;\; – 6\\ – 2\;\;\;\;\; – 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} – 6\;\;\;\;\;\;3\\\; – 1\;\;\;\;\; – 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\;\;\;\;\;\;\;5\\ – 1\;\;\;\; – 2\end{array} \right|} \right) = ( – 17;9; – 1)\)

Chọn \(\overrightarrow v  = ( – 17;9; – 1)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC’} \) và \(\overrightarrow {BD} \)