Giải bài 57 trang 57 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , biết ${u_1} = – 2$ , ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , biết ${u_1} = – 2$ , ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Đặt ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$

a) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của ${u_n}$ tính theo $n$ .

Phương pháp giải – Xem chi tiết

a) Do ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}$ . Suy ra $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = – 2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

b) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ${v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}}$ , từ đó viết được công thức của ${v_n},{u_n}$ theo $n$ .

Lời giải chi tiết

a) Do ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n}}.\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}$ .

Suy ra $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}$ .

Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ có $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}$ là hằng số, nên $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = – 2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

b) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ${v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = \left( { – 2} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} = \frac{{ – 1}}{{{2^{n – 2}}}}$