Giải bài 2.20 trang 30 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\);

b)  \({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\);

c) \(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4).\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\)

\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 – ({x^3}\; – 3{x^2}\; + 3x – 1) – 6{x^2}\)

\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 – {x^3}\; + 3{x^2}\; – 3x + 1 – 6{x^2}\)

\( = ({x^3} – {x^3}) + (3{x^2}\; + 3{x^{2\;}} – 6{x^2}) + \left( {3x – 3x} \right) + 1 + 1\)

\( = 2.\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có:

\({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

\( = {\left( {2x-3} \right)^2}\;-2.\left( {2x-3} \right).\left( {2x + 3} \right) + {\left( {2x + 3} \right)^2}\)

\( = {\left[ {2x-3-\left( {2x + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = {\left( {2x-3-2x-3} \right)^2}\)

\( = {\left( {-6} \right)^2}\; = 36\).

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) Ta có:

\(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4)\)

\( = \left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + {3^2})-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + {2^2})\)

\( = {x^3}\; – {3^3}\; – ({x^3}\; + {2^3})\)

\( = {x^3}\; – 27 – {x^3}\; – 8\)

\( = ({x^3}\; – {x^3}) – 27 – 8 =  – 35.\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.