Giải bài 1 trang 57 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $A( – 1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = (2;1)$

b)  d đi qua điểm $B(4; – 2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = (3; – 2)$

c) d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k =  – 2$

d)  d đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A( – 1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)$, nên có phương trình tham số là:

 $\left\{ \begin{array}{l}x =  – 1 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow n  = \left( {1; – 2} \right)$ và đi qua $A( – 1;5)$

Ta có phương trình tổng quát là

 $(x + 1) – 2(y – 5) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 11 = 0$

b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3; – 2} \right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)$, và đi qua điểm $B(4; – 2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :

$\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y =  – 2 + 3t\end{array} \right.$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4; – 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3; – 2} \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$3(x – 4) – 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x – 2y – 16 = 0$

c) Đường thẳng $d$ có dạng $y = ax + b$

d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k =  – 2$ nên ta có:

$1 =  – 2.1 + b \Rightarrow b = 3$

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng $y =  – 2x + 3$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là $y + 2x – 3 = 0$

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)$, nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {1; – 2} \right)$ và đi qua điểm $P(1;1)$ nên ta có phương trình tham số của d là :

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 – 2t\end{array} \right.$

 d) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \overrightarrow {QR}  = ( – 3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (2;3)$

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – 3t\\y = 2t\end{array} \right.$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $2(x – 3) + 3(x – 0) =  \Leftrightarrow 2x + 3y – 6 = 0$