Giải bài 4.55 trang 69 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 1,\,\,AC = 2.$ Lấy $M,\,\,N,\,\,P$ tương ứng thuộc các cạnh $BC,\,\,CA,\,\,AB$ sao cho $2BM = MC,\,\,CN = 2NA,\,\,AP = 2PB.$ Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $– \frac{1}{2}$

C. $0$

D. $1$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CM}} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ $MN$//$AB$ hay $MN$//$AP$       (1)

Ta có: $\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ $MP$//$AC$ hay $MP$//$AN$       (2)

Ta có: $AP = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}$ và $AN = \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ tứ giác $APMN$ là hình bình hành

Mặt khác $\widehat {PAN} = {90^ \circ }$ và $AP = AN = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ tứ giác $APMN$ là hình vuông

$\Rightarrow$ $AM \bot PN$ $\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP}  = 0$

Chọn C.