Bài 36 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)

a) Tìm một hệ thức giữa $x$ và $h$ khi $AA’$ có độ dài không đổi  và bằng $2a.$

b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo $x$ và $a.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AA’ = AO + OO’ + O’A’$

hay $2a = x + h + x$

Vậy $h + 2x = 2a.$ 

b) – Diện tích cần tính bằng tổng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là $x$, chiều cao là $h$ và diện tích mặt cầu có bán kính là $x$.

– Diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{trụ}} = {\rm{ }}2\pi xh$

– Diện tích mặt cầu:${S_{cầu}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}$

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

$S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}}$

$= 2\pi x\left( {h + 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax.$

Thể tích cần tìm bằng tổng thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

${V_{trụ}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h$

 $\displaystyle {V_{cầu}} = {4 \over 3}\pi {x^3}$

Nên thể tích của chi tiết máy là: 

$\displaystyle V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}$

Mà $h+2x=2a$ (câu a) nên $h=2a-2x=2(a-x)$

$\Rightarrow V \displaystyle = 2\pi {x^2}(a – x) + {4 \over 3}\pi {x^3}=2\pi {x^2}.a -2\pi {x^3} + {4 \over 3}\pi {x^3}\\ =2\pi {x^2}.a – {2 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left( {a – {1 \over 3}x} \right).$