Bài 15 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn $(O).$ Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn lần lượt cắt tia $AC$ và tia $AB$ ở $D$ và $E.$ Chứng minh:

a) $BD^2 = AD.CD.$ 

b) Tứ giác $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

c) $BC$ song song với $DE.$

Lời giải chi tiết

a) Xét $∆ADB$ v $∆BDC,$ ta có:

$\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CB{\rm{D}}}$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $BC$).

$\widehat {{D_1}}$ góc chung 

Vậy $∆ADB$ đồng dạng $∆BDC$ (g-g) ⇒ $\displaystyle {{B{\rm{D}}} \over {C{\rm{D}}}} = {{A{\rm{D}}} \over {B{\rm{D}}}}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow B{{\rm{D}}^2} = A{\rm{D}}.C{\rm{D}}$ (đpcm)

b) Ta có $\widehat {A{\rm{E}}C}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài $(O)$

$\displaystyle \widehat {AEC} = {sđ\overparen{AC}-sđ\overparen{BC}\over 2} = { sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{BC}\over 2} = \widehat {ADB}$

Xét tứ giác $BCDE$, ta có: $\widehat {A{\rm{E}}C}$ và $\widehat {ADB}$ là hai góc kề cạnh ED cùng nhìn đoạn $BC$ dưới các góc bằng nhau $\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {ADB}$ .

Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn

c) Ta có: $\widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = {180^0}$ (hai góc kề bù).

hay $\widehat {ABC} + \widehat {BC{\rm{D}}} = {180^0}$ ($∆ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} – \widehat {BC{\rm{D}}}(1)$ 

Vì $BCDE$ là tứ giác nội tiếp nên

$\widehat {BE{\rm{D}}} + \widehat {BC{\rm{D}}} = {180^0}$ ( trong tứ giác nội tiếp, 2 góc đối diện có tổng bằng $180^0$ $\Rightarrow \widehat {BE{\rm{D}}} = {180^0} – \widehat {BC{\rm{D}}}(2)$ 

So sánh (1) và (2), ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {BE{\rm{D}}}$ 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow BC // DE$ (đpcm)