4. Đề thi giữa kì 2 – Đề số 4

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Khoanh tròn trước câu trả lời đúng.
Câu 1 :

Phân thức bằng với phân thức xx1 là:

  • A.
    x+yx1+y.
  • B.
    x+1x.
  • C.
    2x2x2.
  • D.
    x2(x1)2.
Câu 2 :

Phân thức nghịch đảo của phân thức xyx+y là:

  • A.
    xx+y.
  • B.
    yx+y.
  • C.
    yxx+y.
  • D.
    x+yxy.
Câu 3 :

Giá trị của phân thức x2+4x+4x2+2x khi x=2 là:

  • A.
    0.
  • B.
    1.
  • C.
    4.
  • D.
    Không xác định.
Câu 4 :

Kết quả phép tính x+1x1x4x1

  • A.
    5x1.
  • B.
    5(x1)(x1)2.
  • C.
    3x1.
  • D.
    2x3x1.
Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, biết AB // DE. Giá trị của x là:

  • A.
    8.
  • B.
    10.
  • C.
    12.
  • D.
    14.
Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Biết AB = 3cm, BC = 5cm. Khi đó MN bằng:

  • A.
    1,5cm.
  • B.
    2cm.
  • C.
    2,5cm.
  • D.
    4cm.
Câu 7 :

Một sân chơi có hình tam giác như hình dưới. Kích thước ba cạnh của sân lần lượt là 300m, 350m và 550m. Phía ngoài sân chơi có một con đường tạo thành một tam giác đồng dạng với sân chơi. Biết cạnh ngắn nhất của con đường là 450m. Tổng chiều dài của con đường đó là:

  • A.
    1200m.
  • B.
    1500m.
  • C.
    1800m.
  • D.
    2100m.
Câu 8 :

Cho ΔABCΔMNP theo tỉ số đồng dạng 3. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP. Tỉ số BHNK bằng

  • A.
    13.
  • B.
    19.
  • C.
    3.
  • D.
    9.
II. Tự luận
Câu 1 :

Thực hiện phép tính:

a) 1x+1+21x+5x1x21

b) 2x+6x38:(x+3)32x4

Câu 2 :

Cho hai biểu thức P=x22x2+2x+1x+2, Q=x+1x (với x0; x2; x1)

a) Tính giá trị của Q khi x=3.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P:Q=52.

d) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.

Câu 3 :

Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài BC = 63m. Cùng thời điểm đó, một cây cột DE cao 2 mét cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 mét. Tính chiều cao của tháp?

Câu 4 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Từ B kẻ tia BxAB, tia Bx cắt AH tại K.

a) Tứ giác ABKC là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh ΔABKΔCHA. Từ đó suy ra AB.AC=AK.CH.

c) Chứng minh AH2=HB.HC.

d) Giả sử BH=9cm,HC=16cm. Tính AB, AH.

Câu 5 :

Chứng minh rằng:

Nếu x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+byx+y+z0 thì 11+a+11+b+11+c=2.

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Khoanh tròn trước câu trả lời đúng.
Câu 1 :

Phân thức bằng với phân thức xx1 là:

  • A.
    x+yx1+y.
  • B.
    x+1x.
  • C.
    2x2x2.
  • D.
    x2(x1)2.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của phân thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có: xx1=2x2(x1)=2x2x2 nên phân thức 2x2x2=xx1.

Câu 2 :

Phân thức nghịch đảo của phân thức xyx+y là:

  • A.
    xx+y.
  • B.
    yx+y.
  • C.
    yxx+y.
  • D.
    x+yxy.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân thức nghịch đạo của phân thức ABBA.

Lời giải chi tiết :

Phân thức nghịch đảo của phân thức xyx+yx+yxy.

Câu 3 :

Giá trị của phân thức x2+4x+4x2+2x khi x=2 là:

  • A.
    0.
  • B.
    1.
  • C.
    4.
  • D.
    Không xác định.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Kiểm tra điều kiện của phân thức, nếu thỏa mãn thì thay x = -2 vào phân thức để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Để phân thức x2+4x+4x2+2x xác định thì x2+2x0[x0x2

x=2 không thỏa mãn điều kiện của phân thức nên tại x=2 phân thức không xác định.

Câu 4 :

Kết quả phép tính x+1x1x4x1

  • A.
    5x1.
  • B.
    5(x1)(x1)2.
  • C.
    3x1.
  • D.
    2x3x1.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu.

Lời giải chi tiết :

Ta có: x+1x1x4x1=x+1(x4)x1=x+1x+4x1=5x1.

Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, biết AB // DE. Giá trị của x là:

  • A.
    8.
  • B.
    10.
  • C.
    12.
  • D.
    14.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: AB // DE nên ΔABCΔDEC (định lí hai tam giác đồng dạng)

ACCD=ABDEx220=610x2=20.610=12x=12+2=14.

Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Biết AB = 3cm, BC = 5cm. Khi đó MN bằng:

  • A.
    1,5cm.
  • B.
    2cm.
  • C.
    2,5cm.
  • D.
    4cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Pythagore để tính AC.

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác để tính MN.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=BC2AB2=5232=16=42AC=4(cm)

Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

MN=12AC=12.4=2(cm)

Câu 7 :

Một sân chơi có hình tam giác như hình dưới. Kích thước ba cạnh của sân lần lượt là 300m, 350m và 550m. Phía ngoài sân chơi có một con đường tạo thành một tam giác đồng dạng với sân chơi. Biết cạnh ngắn nhất của con đường là 450m. Tổng chiều dài của con đường đó là:

  • A.
    1200m.
  • B.
    1500m.
  • C.
    1800m.
  • D.
    2100m.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để tìm được tỉ số các cạnh của con đường. Tính tổng 3 cạnh để có chiều dài của con đường đó.

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: ΔABCΔBC. Do đó:

ABAB=ACAC=BCBC=300450=23

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

ABAB=ACAC=BCBC=AB+AC+BCAB+AC+BC=300+350+550AB+AC+BC=1200AB+AC+BC=23AB+AC+BC=1200:23=1800

Vậy chiều dài của con đường là 1800m.

Câu 8 :

Cho ΔABCΔMNP theo tỉ số đồng dạng 3. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP. Tỉ số BHNK bằng

  • A.
    13.
  • B.
    19.
  • C.
    3.
  • D.
    9.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tỉ số hai đường trung tuyến trong hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP nên BH và NK là hai đường trung tuyến của ΔABCΔMNP.

Do B và N là hai đỉnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng nên BH và NK cũng là hai đường trung tuyến tương ứng BHNK=3.

II. Tự luận
Câu 1 :

Thực hiện phép tính:

a) 1x+1+21x+5x1x21

b) 2x+6x38:(x+3)32x4

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

a) 1x+1+21x+5x1x21 (ĐK: x±1)

=1x+12x1+5x1(x+1)(x1)

=x1(x+1)(x1)2(x+1)(x+1)(x1)+5x1(x+1)(x1)=x12(x+1)+5x1(x+1)(x1)=x12x2+5x1(x+1)(x1)=4x4(x+1)(x1)=4(x1)(x+1)(x1)=4x+1

b) 2x+6x38:(x+3)32x4 (ĐK: x2)

=2(x+3)(x2)(x2+2x+4):(x+3)32(x2)=2(x+3)(x2)(x2+2x+4).2(x2)(x+3)3=4(x2+2x+4)(x+3)2

Câu 2 :

Cho hai biểu thức P=x22x2+2x+1x+2, Q=x+1x (với x0; x2; x1)

a) Tính giá trị của Q khi x=3.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P:Q=52.

d) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.

Phương pháp giải :

a) Kiểm tra xem x = -3 có thỏa mãn điều kiện không. Nếu có thì thay x = -3 vào để tính Q.

b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.

c) Rút gọn P:Q. Thay P:Q=52 để tìm x.

d) Để P nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có x = -3 thỏa mãn điều kiện của biểu thức Q nên thay x = -3 vào Q, ta được:

Q=313=43.

Vậy Q=43 khi x=3.

b) Ta có: P=x22x2+2x+1x+2

P=x22x(x+2)+xx(x+2)P=x22+xx(x+2)P=(x1)(x+2)x(x+2)P=x1x

Vậy P=x1x.

c) Ta có: P:Q=x1x:x+1x=x1x.xx+1=x1x+1.

x1x+1=522(x1)=5(x+1)2x2=5x+53x=7x=73(TM)

Vậy x=73 khi P:Q=52.

d) Ta có: P=x1x=11x. Để P nguyên thì 1x nguyên 1x hay xU(1)={1;1}.

x1 nên chỉ có x=1 thỏa mãn.

Vậy x=1 thì P nguyên.

Câu 3 :

Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài BC = 63m. Cùng thời điểm đó, một cây cột DE cao 2 mét cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 mét. Tính chiều cao của tháp?

Phương pháp giải :

Áp dụng Định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh ΔABCΔDEC.

Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng để tính chiều cao của tháp.

Lời giải chi tiết :

Vì tháp và cây cột đều vuông góc với mặt đất nên ta có ˆB=ˆE=900

AB // DE

ΔABCΔDEC (Định lí hai tam giác đồng dạng)

ABDE=BCCEAB2=633=21AB=21.2=42(m)

Vậy chiều cao của tháp là 42m.

Câu 4 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Từ B kẻ tia BxAB, tia Bx cắt AH tại K.

a) Tứ giác ABKC là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh ΔABKΔCHA. Từ đó suy ra AB.AC=AK.CH.

c) Chứng minh AH2=HB.HC.

d) Giả sử BH=9cm,HC=16cm. Tính AB, AH.

Phương pháp giải :

a) Chứng minh tứ giác ABKC có hai cạnh đối song song nên là hình thang và có một góc vuông nên là hình thang vuông.

b) Chứng minh ΔABKΔCHA(g.g) suy ra tỉ số giữa các cạnh trong hai tam giác để chứng minh AB.AC=AK.CH.

c) Chứng minh ΔAHBΔCHA(g.g) để chứng minh AH2=HB.HC.

d) Áp dụng AH2=HB.HC để tính AH, định lí Pythagore để tính AB.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: ACAB(gt),BKAB(gt) AC//BK nên tứ giác ABKC là hình thang.

ˆA=ˆB=900 nên ABKC là hình thang vuông.

b) Vì AC // BK nên ^CAH=^AKB (hai góc so le trong)

Xét ΔABKΔCHA có:

ˆB=ˆH(=900)

^CAH=^AKB (cmt)

ΔABKΔCHA(g.g) (đpcm)

ABAK=CHCAAB.CA=AK.CH (đpcm)

c) Ta có:

^HAC+^ACH=900^ABC+^ACH=900}^HAC=^ABC

Xét ΔAHBΔCHA có:

^AHB=^CHA(=900)

^HAC=^ABC

ΔAHBΔCHA(g.g)

AHBH=CHAHAH2=BH.CH (đpcm)

d) Ta có: AH2=BH.CH=9.16=144=122

AH=12(cm)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB, ta có:

AB2=AH2+HB2=122+92=225AB=15(cm)

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm.

Câu 5 :

Chứng minh rằng:

Nếu x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+byx+y+z0 thì 11+a+11+b+11+c=2.

Phương pháp giải :

Nhân cả tử và mẫu của phân thức 11+a với x; 11+b với y; 11+c với z sau đó thay x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+by để biến đổi vế trái thành vế phải.

Lời giải chi tiết :

Ta có: VT=11+a+11+b+11+c

=xx(1+a)+yy(1+b)+zz(1+c)

=xx+ax+yy+by+zz+cz=by+czby+cz+ax+ax+czax+cz+by+ax+byax+by+cz=by+cz+ax+cz+ax+byax+by+cz=2ax+2by+2czax+by+cz=2(ax+by+cz)ax+by+cz=2=VP

Vậy 11+a+11+b+11+c=2 (đpcm).

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE