Đề bài
Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
Câu 1: (ID: 592114) Câu nào sau đây không phải là mệnh đề?
A. Bạn bao nhiêu tuổi? B. Hôm nay là chủ nhật. C. Trái đất hình tròn. D. 4≠5
Câu 2: (ID: 592018) Cho hai vectơ →a và →b khác →0. Xác định góc α giữa hai vectơ →a và →b khi 2\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.
A. \alpha {\rm{ \;}} = {180^0}. B. \alpha {\rm{ \;}} = {120^0}. C. \alpha {\rm{ \;}} = {90^0}. D. \alpha {\rm{ \;}} = {60^0}.
Câu 3: (ID: 592116) Cho tam giác ABC có M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Khi đó vectơ \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} bằng vectơ nào sau đây?
A. \overrightarrow {CB} . B. \overrightarrow {BA} . C. \vec 0. D. \overrightarrow {BC} .
Câu 4: (ID: 592117) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và \angle BAC = {120^0}. Độ dài cạnh BC bằng:
A. 10. B. 2\sqrt {13} . C. 12. D. 2\sqrt {37} .
Câu 5: (ID: 592118) Cặp số (x;y) nào là sau đây là một nghiệm của bất phương trình x – y + 3 > 0.
A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4).
Câu 6: (ID: 592119) Cho hình bình hành ABCD. Nếu viết được \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = k\overrightarrow {AC} thì k bằng
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 7: (ID: 592120) Gọi a, b, c, r, R, S lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. S = p.R với p = \frac{{a + b + c}}{2}.
B. S = \frac{{abc}}{{4R}}.
C. S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} với p = \frac{{a + b + c}}{2}.
D. S = \frac{1}{2}ab\cos C.
Câu 8: Tập xác định của hàm số y = \sqrt {{x^2} – 3x + 2} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} }} là
A. \left( { – 3; + \infty } \right). B. \left( { – 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right). C. \left( { – 3;1} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right). D. \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).
Câu 9: (ID: 590741) Cho hai tập hợp P = \left[ { – 4;5} \right) và Q = \left( { – 3; + \infty } \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. P\backslash Q = \left[ { – 4; – 3} \right]. B. P \cap Q = \left( { – 3;5} \right].
C. P \cup Q = \left[ { – 4;5} \right). D. {C_\mathbb{R}}P = \left( { – \infty ; – 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right).
Câu 10: (ID: 592122) Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?
A. A \cap B \cap C. B. \left( {A\backslash C} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right). C. \left( {A \cup B} \right)\backslash C. D. \left( {A \cap B} \right)\backslash C.
Câu 11: (ID: 592123) Khoảng cách từ điểm A đến điểm B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 52016’. Biết CA = 200m, BC = 180m. Tính khoảng cách từ A đến B (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 165m. B. 166m. C. 169m. D. 168m.
Câu 12: (ID: 590916) Biết \sin x = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức P = {\sin ^2}x – {\cos ^2}x là
A. \frac{1}{2} B. – \frac{1}{2} C. – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} D. – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}
Câu 13: Cho hàm số f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}. Khi đó:
A. f\left( x \right) tăng trên khoảng \left( { – \infty ; – 1} \right) và giảm trên khoảng \left( { – 1; + \infty } \right).
B. f\left( x \right) tăng trên hai khoảng \left( { – \infty ; – 1} \right) và \left( { – 1; + \infty } \right).
C. f\left( x \right) giảm trên khoảng \left( { – \infty ; – 1} \right) và giảm trên khoảng \left( { – 1; + \infty } \right).
D. f\left( x \right) giảm trên hai khoảng \left( { – \infty ; – 1} \right) và \left( { – 1; + \infty } \right).
Câu 14: (ID: 592124) Giá trị của biểu thức A = {\sin ^2}{51^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{39^0} + {\sin ^2}{35^0} là:
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
Câu 15: (ID: 592125) Cho ba lực \overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} , \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB} , \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MC} cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} đều bằng 100N và \angle AMB = {60^0}. Khi đó cường độ lực \overrightarrow {{F_3}} là:

A. 50\sqrt 2 N. B. 50\sqrt 3 N. C. 25\sqrt 3 N. D. 100\sqrt 3 N.
Câu 16: Tọa độ đỉnh của parabol y = – 2{x^2} – 4x + 6 là
A. I\left( { – 1;8} \right). B. I\left( {1;0} \right). C. I\left( {2; – 10} \right). D. I\left( { – 1;6} \right).
Câu 17: (ID: 591056) Trong đợt hội diễn văn nghệ chào mừng 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia 3 tiết mục là hát tốp ca, múa và diễn kịch. Trong danh sách đăng kí, có 7 học sinh đăng kí tiết mục hát tốp ca, 6 học sinh đăng kí tiết mục múa, 8 học sinh đăng kí diễn kịch; trong đó có 3 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và tiết mục múa, 4 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và diễn kịch, 2 học sinh đăng kí cả tiết mục múa và diễn kịch, 1 học sinh đăng kí cả 3 tiết mục. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh đăng kí tham gia hội diễn văn nghệ?
A. 14. B. 13. C. 21. D. 11.
Câu 18: (ID: 591999) Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a, AD = 3a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính độ dài \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} .
A. 7a. B. \frac{7}{2}a. C. \frac{5}{2}a. D. 5a.
Câu 19: Biết đồ thị hàm số y = a{x^2} + bx + c, \left( {a,\,b,\,c\, \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right) đi qua điểm A\left( {2;1} \right) và có đỉnh I\left( {1\,;\, – 1} \right). Tính giá trị biểu thức T = {a^3} + {b^2} – 2c.
A. T = 22. B. T = 9. C. T = 6. D. T = 1.
Câu 20: Cho parabol y = a{x^2} + bx + c có đồ thị như hình dưới
Phương trình của parabol này là
A. y = – {x^2} + x – 1. B. y = 2{x^2} + 4x – 1. C. y = {x^2} – 2x – 1. D. y = 2{x^2} – 4x – 1.
Câu 21: (ID: 590911) Đường thẳng – x + 3y > 2 chia mặt phẳng tọa độ thành các miền như hình vẽ. Xác định miền nghiệm của – x + 3y > 2.
A. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.
B. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.
C. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.
D. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.
Câu 22: (ID: 590913) Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y > {\rm{ \;}} – 4}\\{3x – y < 5}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right..
A. \left( { – 2, – 3} \right) B. \left( {2, – 3} \right) C. \left( {4,0} \right) D. \left( {0,2} \right)
Câu 23: (ID: 590761) Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. \cos B + \cos C = 2\cos A. B. \sin B + \sin C = 2\sin A.
C. \sin B + \sin C = \frac{1}{2}\sin A. D. \sin B + \cos C = 2\sin A.
Câu 24: (ID: 591057) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} . Tính tích vô hướng \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} .
A. \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4. B. \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – 4\sqrt 3 . C. \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4\sqrt 3 . D. \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – 4.
Câu 25: Cho hàm số y = a{x^2} + bx + c có bảng biến thiên dưới đây. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. y = {x^2} + 2x – 2. B. y = {x^2} – 2x – 2. C. y = {x^2}{\rm{ + 3}}x – 2. D. y = – {x^2} – 2x – 2.
Phần 2: Tự luận (5 điểm)
Câu 1: (ID: 592127) Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn 3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0 và G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} .
b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số \frac{{KA}}{{KC}}.
Câu 2:
a) Xác định parabol (P):y = a{x^2} + bx + c, biết rằng (P) có đỉnh I(2; – 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.
b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) tìm được.
Câu 3: (ID: 592128) Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn 4\sin A\tan A = \sin B\sin C. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}.
—– HẾT —–
Lời giải
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
1.A
|
2.B
|
3.B
|
4.D
|
5.C
|
6.C
|
7.D
|
8.B
|
9.A
|
10.D
|
11.D
|
12.B
|
13.C
|
14.D
|
15.D
|
16.A
|
17.B
|
18.C
|
19.A
|
20.D
|
21.D
|
22.D
|
23.B
|
24.B
|
25.B
|
|
|
|
|
|
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Bạn bao nhiêu tuổi? là câu nghi vấn nên không phải là mệnh đề.
Chọn A.
Câu 2 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: \vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right).
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\vec a.\vec b = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow – \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\left[ {1 + 2\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = – \frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec a \ne \vec 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b \ne \vec 0} \right)\end{array}
\Leftrightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = {120^0}.
Chọn B.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Sử dụng hai vectơ bằng nhau.
Cách giải:

Ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BN} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BA} }\end{array}
Chọn B.
Câu 4 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định lí cosin trong tam giác: B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos \angle BAC.
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos \angle BAC.}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {6^2} + {8^2} – 2.6.8.\cos {{120}^0}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 148}\\{ \Rightarrow BC = \sqrt {148} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {37} .}\end{array}
Chọn D.
Câu 5 (NB):
Phương pháp:
Cặp số nào thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 0 – 4 + 3 > 0 => Sai.
Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2 – 5 + 3 > 0 => Sai.
Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 1 – 3 + 3 > 0 => Đúng.
Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 1 – 4 + 3 > 0 => Sai.
Chọn C.
Câu 6 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Cách giải:
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow k = 2.}\end{array}
Chọn C.
Câu 7 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: S = \frac{{abc}}{{4R}}, S = \frac{1}{2}ab\sin C, S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} , S = p.R với p = \frac{{a + b + c}}{2}.
Cách giải:
S = \frac{1}{2}ab\sin C nên đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 8 (TH):
Phương pháp:
\sqrt {f(x)} xác định khi f(x) \ge 0
\frac{1}{{g(x)}} xác định khi g(x) \ne 0
Cách giải:
Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 2 \ge 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\x > – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { – 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Biểu diễn các tập hợp trên trục số và thực hiện các phép toán trên tập hợp.
Cách giải:

P\backslash Q = \left[ { – 4; – 3} \right] \Rightarrow A đúng.

P \cap Q = \left( { – 3;5} \right) \Rightarrow B sai.

P \cup Q = \left[ { – 4; + \infty } \right) \Rightarrow C sai.

{C_\mathbb{R}}P = \mathbb{R}\backslash P = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right) \Rightarrow D sai.
Chọn A.
Câu 10 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp.
Cách giải:
Phần tô đậm trong hình vẽ biểu diễn cho tập hợp \left( {A \cap B} \right)\backslash C.
Chọn D.
Câu 11 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} – 2AC.BC.\cos C.
Cách giải:
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} – 2AC.BC.\cos C}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {{200}^2} + {{180}^2} – 2.200.180.\cos {{52}^0}16′ \approx 28337}\\{ \Rightarrow AB \approx 168{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)}\end{array}
Chọn D.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Dùng công thức {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 để tính cos x
Cách giải:
\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin {x^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {{\cos }^2}x = 1 – {{\sin }^2}x = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}}\\{ \Rightarrow {{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x = \frac{1}{4} – \frac{3}{4} = \frac{{ – 1}}{2}}\end{array}
Chọn B.
Câu 13 (VD):
Cách giải:
TXĐ: D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }} – 1\} .
Xét {x_1};\,{x_2}\, \in \,Dvà{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} – {x_2} < 0
Khi đó với hàm số y = f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}
\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} – \frac{4}{{{x_2} + 1}} = 4.\frac{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}
Trên \left( { – \infty ; – 1} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0nên hàm số nghịch biến.
Trên \left( { – 1; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0nên hàm số nghịch biến.
Vậy y = \left| {x + 1} \right| – \left| {1 – x} \right|không là hàm số chẵn.
Chọn C.
Câu 14 (TH):
Phương pháp:
Nếu \alpha {\rm{ \;}} + \beta {\rm{ \;}} = {90^0} thì \sin \alpha {\rm{ \;}} = \cos \beta .
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{A = {{\sin }^2}{{51}^0} + {{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{39}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}{{39}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} – {{51}^0}} \right)} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} – {{55}^0}} \right)} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\cos }^2}{{51}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\cos }^2}{{55}^0}} \right)}\\{A = 1 + 1 = 2.}\end{array}
Chọn D.
Câu 15 (TH):
Phương pháp:
Vì M đứng yên nên \overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0.
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Cách giải:
Vì M đứng yên nên \overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MD} , với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMBD như hình vẽ.
\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {MD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \overrightarrow {MD} }\\{ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| { – \overrightarrow {MD} } \right| = MD}\end{array}
Vì MA = MB = 100, \angle AMB = {60^0} nên tam giác AMB đều \Rightarrow MD = 100\sqrt 3 .
Vậy \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 100\sqrt 3 N.
Chọn D.
Câu 16 (TH):
Phương pháp:
Tọa độ đỉnh của parabol y = a{x^2} + bx + c là I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)
Cách giải:
Tọa độ đỉnh của parabol y = – 2{x^2} – 4x + 6 là \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{{ – 4}}{{2.\left( { – 2} \right)}} = – 1\\y = – 2.{\left( { – 1} \right)^2} – 4.\left( { – 1} \right) + 6 = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { – 1;8} \right).
Chọn A.
Câu 17 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng công thức n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) – n\left( {A \cap B} \right) – n\left( {B \cap C} \right) – n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right).
Cách giải:
Gọi A là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục tốp ca \Rightarrow n\left( A \right) = 7.
B là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục múa \Rightarrow n\left( B \right) = 6.
C là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục diễn kịch \Rightarrow n\left( C \right) = 8.
\Rightarrow A \cap B: tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và múa \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 3.
A \cap C: tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và diễn kịch \Rightarrow n\left( {A \cap C} \right) = 4.
B \cap C: tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục múa và diễn kịch \Rightarrow n\left( {B \cap C} \right) = 2.
A \cap B \cap C: tập hợp các bạn đăng kí cả 3 tiết mục tốp ca, múa và diễn kịch \Rightarrow n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 1.
A \cup B \cup C: tập hợp các bạn đăng kí ít nhất 1 tiết mục.
Ta có: n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) – n\left( {A \cap B} \right) – n\left( {B \cap C} \right) – n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)
\Rightarrow n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 7 + 6 + 8 – 3 – 4 – 2 + 1 = 13.
Chọn B.
Câu 18 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng hai vectơ bằng nhau, đưa về hai vectơ chung điểm đầu và cuối, sử dụng quy tắc ba điểm.
Cách giải:
Ta có: \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OC} .
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = 5a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}a.
Vậy \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = OC = \frac{5}{2}a.
Chọn C.
Câu 19 (TH):
Phương pháp:
Tọa độ đỉnh của parabol y = a{x^2} + bx + c là I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)
Cách giải:
Đồ thị hàm số y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c đi qua điểm A\left( {2;1} \right) và có đỉnh I\left( {1\,;\, – 1} \right) nên có hệ phương trình
\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ – \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\b = – 2a\\a + b + c = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = – 2a\\ – a + c = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = – 4\\a = 2\end{array} \right..
Vậy T = {a^3} + {b^2} – 2c = 22.
Chọn A.
Câu 20 (TH):
Phương pháp:
Tọa độ đỉnh của parabol y = a{x^2} + bx + c là I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)
Cách giải:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0\,\,;\,\, – 1} \right) nên c = – 1.
Tọa độ đỉnh I\left( {1\,\,;\, – 3} \right), ta có phương trình: \left\{ \begin{array}{l} – \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 – 1 = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 4\end{array} \right..
Vậy parabol cần tìm là: y = 2{x^2} – 4x – 1.
Chọn D.
Câu 21 (NB):
Phương pháp:
Chọn điểm bất kì thỏa mãn bất phương trình để chọn miền nghiệm
Cách giải:
Vì O(0,0) không thuộc miền nghiệm nên nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d
Chọn D.
Câu 22 (NB):
Phương pháp:
Vẽ đồ thị hoặc thử các đáp án
Cách giải:
\left( {0,2} \right) thỏa mãn 3 phương trình trong hệ phương trình nên chọn D
Chọn D.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.
Cách giải:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2R\sin A}\\{b = 2R\sin B}\\{c = 2R\sin C}\end{array}} \right..
Theo giả thiết ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b + c = 2a}\\{ \Leftrightarrow 2R\sin B + 2R\sin C = 2.2R\sin A}\\{ \Leftrightarrow \sin B + \sin C = 2\sin A.}\end{array}
Chọn B.
Câu 24 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).
Cách giải:
Ta có: \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} – \frac{1}{2}BC.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right).
Vì tam giác ABC đều nên \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \angle ABC = {60^0}.
\Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} = – \frac{1}{2}.4.4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{ \;}} – 4\sqrt 3 .
Chọn B.
Câu 25 (TH):
Phương pháp:
Tọa độ đỉnh của parabol y = a{x^2} + bx + c là I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)
Cách giải:
Từ BBT ta có a > 0 nên loại đáp án D. Đỉnh I\left( {1; – 3} \right) nên – \frac{b}{{2{\rm{a}}}} = 1
Đáp án A. y = {x^2} + 2x – 2 có a = 1,b = 2 \Rightarrow \frac{{ – b}}{{2a}} = – 1 (Loại)
Đáp án B. y = {x^2} – 2x – 2 có a = 1,b = – 2 \Rightarrow \frac{{ – b}}{{2a}} = 1 (TM)
Đáp án C. y = {x^2} + 3x – 2 có a = 1,b = 3 \Rightarrow \frac{{ – b}}{{2a}} = – \frac{3}{2} (Loại)
Chọn B.
Phần 2: Tự luận (5 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI.
Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.
b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương.
Cách giải:
a) Gọi I là trung điểm của BC.
Ta có: 3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow 3MB = MC \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}BI.
=> M là trung điểm của BI.
Khi đó ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IG} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) – \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} }\\{ = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} – \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}
b) Đặt \overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right), ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GK} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AG} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {x – \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} }\end{array}
Vì M, G, K thẳng hàng nên \frac{{x – \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{{12}}}} = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{ – \frac{5}{{12}}}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}.
Vậy \overrightarrow {AK} {\rm{\;}} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} nên AK = \frac{2}{5}AC \Rightarrow \frac{{KA}}{{KC}} = \frac{2}{3}.
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Hàm số y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0) có đỉnh \left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right).
b) Sự biến thiên

* Vẽ đồ thị
+ Đỉnh I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)
+ Trục đối xứng x = – \frac{b}{{2a}}
+ Giao với các trục (nếu có)
+ Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng).
Cách giải:
a) Ta có: (P) giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -3 hay điểm (0;-3). Suy ra a.0 + b.0 + c = – 3 \Leftrightarrow c = – 3
Vì (P) có đỉnh I(2;-1) nên \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ – b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + ( – 3) = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – b = 4a\\4a + 2b – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.
Vậy parabol (P) là y = – \frac{1}{2}{x^2} + 2x – 3
b) Hàm số y = – \frac{1}{2}{x^2} + 2x – 3 có a = – \frac{1}{2} < 0, đỉnh I(2;-1) nên có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên ( – \infty ;2) và nghịch biến trên khoảng (2; + \infty )
* Vẽ đồ thị
Đỉnh I(2;-1)
Trục đối xứng x = 2
Cắt trục tung tại A(0;-3) và không cắt Ox
Lấy B(4;-3) thuộc (P), đối xứng với A(0;-3) qua trục đối xứng
Lấy C\left( {1; – \frac{3}{2}} \right),D\left( {3; – \frac{3}{2}} \right) thuộc (P).

Câu 3 (VDC):
Phương pháp:
Ta thường dùng các chữ cái in hoa để kí hiệu tập hợp và chữ cái in thường để kí hiệu phần tử thuộc tập hợp.
Cách giải:
Ta có
\begin{array}{l}S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\left( {\frac{2}{3}{m_b}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}{m_c}} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{2}{3}{m_a}} \right)^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}{m_b}^2 + \frac{4}{9}{m_c}^2 + 4{m_a}^2\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}.\left( {\frac{{2{a^2} + 2{c^2} – {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}}}{4}} \right) + 4.\frac{{2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}}}{4}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}.\frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} + 2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}\end{array}
\begin{array}{l}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9} + 2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – \frac{5}{9}{a^2}\end{array}
Theo giả thiết ta có: 4\sin A\tan A = \sin B\sin C \Leftrightarrow 4{\sin ^2}A = \sin B\sin C\cos A{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin A = \frac{a}{{2R}}}\\{\sin B = \frac{b}{{2R}}}\\{\sin C = \frac{c}{{2R}}}\end{array}} \right.
Thay vào (*) ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)}^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 4.\frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{bc}}{{4{R^2}}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 4{a^2} = bc\cos A}\end{array}
Lại theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A}\\{ \Rightarrow bc\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{2}}\end{array}
Khi đó ta có:
\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{2}}\\{ \Leftrightarrow 8{a^2} = {b^2} + {c^2} – {a^2}}\\{ \Leftrightarrow 9{a^2} = {b^2} + {c^2}}\end{array}
Do đó: S = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{19}}{9}.9{a^2} – \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{166{a^2}}}{9} = 166.
Vậy S = 166.