4. Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề bài

Câu 1 :

Phân tích đa thức $15{x^3} – 5{x^2} + 10x$ thành nhân tử.

A.
$5({x^3} – {x^2} + 2x)$ .
B.

$5x({{x^2} – x + 1})$ .
C.

$5x({3{x^2} – x + 1})$ .
D.

$5x({3{x^2} – x + 2})$ .

Câu 2 :

Kết quả phân tích đa thức ${x^2}\;-xy + x-y$ thành nhân tử là:

A.

$({x + 1}) ({x – y})$ .
B.

$({x – y}) ({x – 1})$ .
C.

$({x – y}) ({x + y})$ .
D.

$x({x – y})$ .

Câu 3 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: ${x^2} + 6x + 9\;$

A.
$(x + 3)(x – 3)$ .
B.
$(x – 1)(x + 9)$ .
C.
${(x + 3)^2}$ .
D.
$(x + 6)(x – 3)$ .

Câu 4 :

Tìm x, biết $2 – 25{x^2} = 0$

A.
$x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}$ .
B.
$x = \frac{{ – \sqrt 2 }}{5}$ .
C.
$\frac{2}{{25}}$ .
D.
$x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}$ hoặc $x = \frac{{ – \sqrt 2 }}{5}$ .

Câu 5 :

Chọn câu sai.

A.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = {({x-1}) ^2}({x + 1})$ .
B.

${({x-1}) ^3}\; + 2({x-1}) = ({x-1}) [{({x-1}) ^2}\; + 2]$ .
C.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = ({x-1}) [{({x-1}) ^2}\; + 2x-2]$ .
D.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = ({x-1}) ({x + 3})$ .

Câu 6 :

Tính nhanh biểu thức ${37^2} – {13^2}$

A.
$1200$ .
B.
$800$ .
C.
$1500$ .
D.
$1800$ .

Câu 7 :

Phân tích đa thức ${x^2} – 2xy + {y^2}{{ – }}81$ thành nhân tử:

A.
$(x – y – 3)(x – y + 3)$ .
B.

$\left( {x – y – 9} \right)\left( {x – y + 9} \right)$ .
C.
$(x + y – 3)(x + y + 3)$ .
D.
$(x + y – 9)(x + y – 9)$ .

Câu 8 :

Tính nhanh giá trị của biểu thức ${x^2} + 2x + 1 – {y^2}$ tại x = 94,5 và y = 4,5.

A.
$8900$ .
B.
$9000$ .
C.
$9050$ .
D.
$9100$ .

Câu 9 :

Nhân tử chung của biểu thức $30{\left( {4-2x} \right)^2}\; + 3x-6$ có thể là

A.
$x + 2$ .
B.
$3(x – 2)$ .
C.
${(x – 2)^2}$ .
D.
${(x + 2)^2}$ .

Câu 10 :

Thực hiện phép chia: $\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 1} \right):\left( {{x^3} + 1} \right)$

A.
${x^2} + 1$ .
B.
${(x + 1)^2}$ .
C.
${x^2} – 1$ .
D.
${x^2} + x + 1$ .

Câu 11 :

Cho ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai giá trị thỏa mãn $4\left( {x – 5} \right) – {\rm{ 2}}x\left( {{\rm{5 }} – x} \right) = 0$ . Khi đó ${x_1}\; + {x_2}\;$ bằng

A.
5.
B.
7.
C.
3.
D.
-2.

Câu 12 :

Chọn câu sai.

A.
${x^2} – 6x + 9 = {(x – 3)^2}$ .
B.
$\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{4} + 2y} \right)^2}$ .
C.
$\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ .
D.
$4{x^2} – 4xy + {y^2} = {(2x – y)^2}$ .

Câu 13 :

Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn ${x^3}\; + 2{x^2}\;-9x-18 = 0$

A.
$0$ .
B.
$1$ .
C.
$2$ .
D.
$3$ .

Câu 14 :

Phân tích đa thức $3{x^3} – 8{x^2} – 41x + 30$ thành nhân tử

A.
$(3x – 2)(x + 3)(x – 5)$ .
B.
$3(x – 2)(x + 3)(x – 5)$ .
C.
$(3x – 2)(x – 3)(x + 5)$ .
D.
$(x – 2)(3x + 3)(x – 5)$ .

Câu 15 :

Cho ${\left( {3{x^2} + 3x – 5} \right)^2} – {\left( {3{x^2} + 3x + 5} \right)^2} = mx(x + 1)$ với $m \in \mathbb{R}$ . Chọn câu đúng

A.
$m > – 59$ .
B.
$m < 0$ .
C.
$m \vdots 9$ .
D.
$m$ là số nguyên tố.

Câu 16 :

Cho $\left| x \right| < 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về giá trị của biểu thức $A = {x^4} + 3{x^3} – 27x – 81$

A.
$A > 1$ .
B.
$A > 0$ .
C.
$A < 0$ .
D.
$A \ge 1$ .

Câu 17 :

Tính nhanh $B = 5.101,5 – 50.0,15$

A.
$100$ .
B.
$50$ .
C.
$500$ .
D.
$1000$ .

Câu 18 :

Cho ${(3{x^2} + 6x – 18)^2} – {(3{x^2} + 6x)^2} = m(x + n)(x – 1)$ . Khi đó $\frac{m}{n}$ bằng:

A.
$\frac{m}{n} = 36$ .
B.
$\frac{m}{n} = – 36$ .
C.
$\frac{m}{n} = 18$ .
D.
$\frac{m}{n} = – 18$ .

Câu 19 :

Cho $x = 20-y$ . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức $B = {x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}\; + {x^2}\; + 2xy + {y^2}$

A.
$B < 8300$ .
B.
$B > 8500$ .
C.
$B < 0$ .
D.
$B > 8300$ .

Câu 20 :

Hiệu bình phương các số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho

A.
7.
B.
8.
C.
9.
D.
10.

Câu 21 :

Giá trị của x thỏa mãn $5{x^2} – 10x + 5 = 0$ là

A.
$x = 1$ .
B.
$x = – 1$ .
C.
$x = 2$ .
D.
$x = 5$ .

Câu 22 :

Cho ${x^2}\;-4{y^2}\;-2x-4y = \left( {x + my} \right)\left( {x-2y + n} \right)$ với $m,n \in \mathbb{R}$ . Tìm m và n.

A.
$m = 2,n = 2$
B.
$m = – 2,n = 2$
C.
$m = 2,n = – 2$
D.
$m = – 2,n = – 2$

Câu 23 :

Tính giá trị của biểu thức $A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + x-1$ tại $x = 5$ .

A.
$A = 20\;$ .
B.
$A = {\rm{ 4}}0\;$ .
C.
$A = {\rm{ 16}}\;$ .
D.
$A = 28$ .

Câu 24 :

Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn ${\left( {2x-5} \right)^2}\;-4{\left( {x-2} \right)^2}\; = 0$ ?

A.
$2$ .
B.
$1$ .
C.
$0$ .
D.
$4$ .

Câu 25 :

Tính giá trị của biểu thức $A = {x^6} – {x^4} – x({x^3} – x)$ biết ${x^3} – x = 9$

A.
$A = 0$ .
B.
$A = 9$ .
C.
$A = 27$ .
D.
$A = 81$ .

Câu 26 :

Cho biểu thức $A = {7^{19}} + {7^{20}} + {7^{21}}$ . Khẳng định nào đúng cho biểu thức A.

A.
A không chia hết cho 7.
B.
A chia hết cho 2.
C.
A chia hết cho 57.
D.
A chia hết cho 114.

Câu 27 :

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}$ là các giá trị thỏa mãn $4{\left( {2x-5} \right)^2}\;-9{(4{x^2}\;-25)^2}\; = 0$ . Khi đó ${x_1}\; + {x_2}\; + {x_3}$ bằng

A.
$– 3$ .
B.
$– 1$ .
C.
$\frac{{ – 5}}{3}$ .
D.
$1$ .

Câu 28 :

Với a³ + b³ + c³ = 3abc thì

A.
$a = b = c$ .
B.
$a + b + c = 1$ .
C.
$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$ .
D.
$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 1$ .

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phân tích đa thức $15{x^3} – 5{x^2} + 10x$ thành nhân tử.

A.
$5({x^3} – {x^2} + 2x)$ .
B.

$5x({{x^2} – x + 1})$ .
C.

$5x({3{x^2} – x + 1})$ .
D.

$5x({3{x^2} – x + 2})$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}15{x^3} – 5{x^2} + 10x\\ = \;5x.3{x^2} – \;5x.x + \;5x.2\\ = \;5x({3{x^2} – x + 2}) \end{array}$

Câu 2 :

Kết quả phân tích đa thức ${x^2}\;-xy + x-y$ thành nhân tử là:

A.

$({x + 1}) ({x – y})$ .
B.

$({x – y}) ({x – 1})$ .
C.

$({x – y}) ({x + y})$ .
D.

$x({x – y})$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^2}\;-xy + x-y\\ = x(x – y) + (x – y)\\ = (x + 1)(x – y)\end{array}$

Câu 3 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: ${x^2} + 6x + 9\;$

A.
$(x + 3)(x – 3)$ .
B.
$(x – 1)(x + 9)$ .
C.
${(x + 3)^2}$ .
D.
$(x + 6)(x – 3)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta dễ dàng nhận thấy ${x^2} + 2x.3 + {3^2}$

${x^2} + 6x + 9 = {({x + 3}) ^2}$

Câu 4 :

Tìm x, biết $2 – 25{x^2} = 0$

A.
$x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}$ .
B.
$x = \frac{{ – \sqrt 2 }}{5}$ .
C.
$\frac{2}{{25}}$ .
D.
$x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}$ hoặc $x = \frac{{ – \sqrt 2 }}{5}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử, dựa vào hằng đẳng thức

${A^2} – {B^2} = {A – B} {A + B}$ ; sau đó giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{*{20}{l}}{2 – 25{x^2} = 0\;}\\{ \Leftrightarrow (\sqrt 2 – 5x)(\sqrt 2 + 5x) = 0}\\\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 – 5x = 0\\\sqrt 2 + 5x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\\x = \frac{{ – \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\end{array}\end{array}$

Câu 5 :

Chọn câu sai.

A.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = {({x-1}) ^2}({x + 1})$ .
B.

${({x-1}) ^3}\; + 2({x-1}) = ({x-1}) [{({x-1}) ^2}\; + 2]$ .
C.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = ({x-1}) [{({x-1}) ^2}\; + 2x-2]$ .
D.

${({x-1}) ^3}\; + 2{({x-1}) ^2}\; = ({x-1}) ({x + 3})$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3}\; + {\rm{ }}2{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\;\\ = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\\ = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}(x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}\\ = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\end{array}$

nên A đúng

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^3}\; + {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}\\{ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right).{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}\; + {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}\end{array}\\ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)[{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}2]\end{array}$

nên B đúng

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^3}\; + {\rm{ }}2{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}}\\{ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}\; + {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}\\{ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)[{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}\; + {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)]}\end{array}\\ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)[{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2]\end{array}$

nên C đúng

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^3}\; + {\rm{ }}2{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}}\\{ = {\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}\end{array}\\ \ne {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\end{array}$

nên D sai

Câu 6 :

Tính nhanh biểu thức ${37^2} – {13^2}$

A.
$1200$ .
B.
$800$ .
C.
$1500$ .
D.
$1800$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức

${A^2} – {B^2} = {A – B} {A + B}$ để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{37^2} – {13^2}\\ = ({37 – 13}) ({37 + 13}) \\ = 24.50\\ = 1200\end{array}$

Câu 7 :

Phân tích đa thức ${x^2} – 2xy + {y^2}{{ – }}81$ thành nhân tử:

A.
$(x – y – 3)(x – y + 3)$ .
B.

$\left( {x – y – 9} \right)\left( {x – y + 9} \right)$ .
C.
$(x + y – 3)(x + y + 3)$ .
D.
$(x + y – 9)(x + y – 9)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết :

${x^2} – 2xy + {y^2}{\rm{ – }}81\; = \;\left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right) – 81$ (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)

$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}y} \right)^2}{\rm{ }} – {\rm{ }}{9^2}$ (áp dụng hằng đẳng thức ${A^2} – {\rm{ }}{B^2} = {\rm{ }}\left( {A{\rm{ }} – {\rm{ }}B} \right)\left( {A{\rm{ }} + {\rm{ }}B} \right)$ )

$= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}y{\rm{ }} – {\rm{ }}9} \right)\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right)$ .

Câu 8 :

Tính nhanh giá trị của biểu thức ${x^2} + 2x + 1 – {y^2}$ tại x = 94,5 và y = 4,5.

A.
$8900$ .
B.
$9000$ .
C.
$9050$ .
D.
$9100$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử rồi mới thay số vào tính.

Lời giải chi tiết :

${x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} – {\rm{ }}{y^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} – {\rm{ }}{y^2}\;$ (nhóm hạng tử)

$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} – {\rm{ }}{y^2}$ (áp dụng hằng đẳng thức)

$= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} – {\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)$

Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:

$\begin{array}{l}\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} – 4,5} \right)\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ 4,5}}} \right)\\ = 91.100\\ = 9100\end{array}$

Câu 9 :

Nhân tử chung của biểu thức $30{\left( {4-2x} \right)^2}\; + 3x-6$ có thể là

A.
$x + 2$ .
B.
$3(x – 2)$ .
C.
${(x – 2)^2}$ .
D.
${(x + 2)^2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{30{{\left( {4-2x} \right)}^2}\; + 3x-6 = 30{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = {{30.2}^2}\left( {x-2} \right) + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 120{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 3\left( {x-2} \right)\left( {40\left( {x-2} \right) + 1} \right) = 3\left( {x-2} \right)\left( {40x-79} \right)}\end{array}$

Nhân tử chung có thể là $3(x – 2)$ .

Câu 10 :

Thực hiện phép chia: $\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 1} \right):\left( {{x^3} + 1} \right)$

A.
${x^2} + 1$ .
B.
${(x + 1)^2}$ .
C.
${x^2} – 1$ .
D.
${x^2} + x + 1$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức

${x^5} + {x^3} + {x^2} + 1$ thành nhân tử rồi sau đó thực hiện phép chia.

Lời giải chi tiết :

Vì

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^5} + {x^3} + {x^2}\; + 1}\\{ = {x^3}\left( {{x^2}\; + 1} \right) + {x^2}\; + 1}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\end{array}$

nên

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x^5}\; + {x^3}\; + {x^2}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)}\end{array}$

Câu 11 :

Cho ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai giá trị thỏa mãn $4\left( {x – 5} \right) – {\rm{ 2}}x\left( {{\rm{5 }} – x} \right) = 0$ . Khi đó ${x_1}\; + {x_2}\;$ bằng

A.
5.
B.
7.
C.
3.
D.
-2.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung; sau đó giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}4\left( {x – 5} \right) – {\rm{ 2}}x\left( {{\rm{5 }} – x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x – {\rm{ 5}}} \right)\; + \;2x\left( {x – {\rm{ 5}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – {\rm{ 5}}} \right)\left( {{\rm{4}} + 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 5 = 0\\4 + 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 5 – 2 = 3\end{array}$

Câu 12 :

Chọn câu sai.

A.
${x^2} – 6x + 9 = {(x – 3)^2}$ .
B.
$\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{4} + 2y} \right)^2}$ .
C.
$\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ .
D.
$4{x^2} – 4xy + {y^2} = {(2x – y)^2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) ${x^2} – 6x + 9 = {x^2} – 2.3x + {3^2} = {(x – 3)^2}$ nên A đúng.

+) $\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.2.\frac{x}{2}.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ nên B sai, C đúng.

+) $4{x^2} – 4xy + {y^2} = {\left( {2x} \right)^2} – 2.2x.y + {y^2} = {(2x – y)^2}$ nên D đúng.

Câu 13 :

Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn ${x^3}\; + 2{x^2}\;-9x-18 = 0$

A.
$0$ .
B.
$1$ .
C.
$2$ .
D.
$3$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} – 9x – 18 = 0\\ \Leftrightarrow ({x^3} + 2{x^2}) – (9x – 18) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}(x + 2) – 9(x – 2) = 0\\ \Leftrightarrow ({x^2} – 9)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x – 3)(x + 3)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 = 0\\x + 3 = 0\\x – 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 3\\x = – 2\end{array} \right.\end{array}$

Câu 14 :

Phân tích đa thức $3{x^3} – 8{x^2} – 41x + 30$ thành nhân tử

A.
$(3x – 2)(x + 3)(x – 5)$ .
B.
$3(x – 2)(x + 3)(x – 5)$ .
C.
$(3x – 2)(x – 3)(x + 5)$ .
D.
$(x – 2)(3x + 3)(x – 5)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Theo đề ra ta có:

$\begin{array}{l}3{x^3} – 8{x^2} – 41x + 30\\ = 3{x^3} – 2{x^2} – 6{x^2} + 4x – 45x + 30\\ = \left( {3{x^3} – 2{x^2}} \right) – \left( {6{x^2} – 4x} \right) – \left( {45x – 30} \right)\\ = {x^2}(3x – 2) – 2x(3x – 2) – 15(3x – 2)\\ = ({x^2} – 2x – 15)(3x – 2)\\ = ({x^2} + 3x – 5x – 15)(3x – 2)\\ = \left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) – \left( {5x + 15} \right)} \right](3x – 2)\\ = \left[ {x(x + 3) – 5(x + 3)} \right](3x – 2)\\ = (3x – 2)(x – 5)(x + 3)\end{array}$

Câu 15 :

Cho ${\left( {3{x^2} + 3x – 5} \right)^2} – {\left( {3{x^2} + 3x + 5} \right)^2} = mx(x + 1)$ với $m \in \mathbb{R}$ . Chọn câu đúng

A.
$m > – 59$ .
B.
$m < 0$ .
C.
$m \vdots 9$ .
D.
$m$ là số nguyên tố.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^2} – {B^2} = (A – B)(A + B)$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {3{x^2} + 3x – 5} \right)^2} – {\left( {3{x^2} + 3x + 5} \right)^2}\\ = (3{x^2} + 3x – 5 – 3{x^2} – 3x – 5)(3{x^2} + 3x – 5 + 3{x^2} + 3x + 5)\\ = – 10(6{x^2} + 6x)\\ = – 10.6x(x + 1)\\ = – 60x(x + 1)\\ = mx(x + 1)\\ \Rightarrow m = – 60 < 0\end{array}$

Câu 16 :

Cho $\left| x \right| < 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về giá trị của biểu thức $A = {x^4} + 3{x^3} – 27x – 81$

A.
$A > 1$ .
B.
$A > 0$ .
C.
$A < 0$ .
D.
$A \ge 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^4} + 3{x^3} – 27x – 81\\ = ({x^4} – 81) + (3{x^3} – 27x)\\ = ({x^2} – 9)({x^2} + 9) + 3x({x^2} – 9)\\ = ({x^2} – 9)({x^2} + 3x + 9)\end{array}$

Ta có: ${x^2} + 3x + 9 = {x^2} + 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{{27}}{4} \ge \frac{{27}}{4} > 0,\forall x$

Mà $\left| x \right| < 3 \Leftrightarrow {x^2} < 9 \Leftrightarrow {x^2} – 9 < 0$

$\Rightarrow A = ({x^2} – 9)({x^2} + 3x + 9) < 0$ khi $\left| x \right| < 3$ .

Câu 17 :

Tính nhanh $B = 5.101,5 – 50.0,15$

A.
$100$ .
B.
$50$ .
C.
$500$ .
D.
$1000$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi để phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}B = 5.101,5 – 50.0,15\\ = 5.101,5 – 5.1,5\\ = 5(101,5 – 1,5)\\ = 5.100\\ = 500\end{array}$

Câu 18 :

Cho ${(3{x^2} + 6x – 18)^2} – {(3{x^2} + 6x)^2} = m(x + n)(x – 1)$ . Khi đó $\frac{m}{n}$ bằng:

A.
$\frac{m}{n} = 36$ .
B.
$\frac{m}{n} = – 36$ .
C.
$\frac{m}{n} = 18$ .
D.
$\frac{m}{n} = – 18$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{(3{x^2} + 6x – 18)^2} – {(3{x^2} + 6x)^2}\\ = (3{x^2} + 6x – 18 – 3{x^2} – 6x)(3{x^2} + 6x – 18 + 3{x^2} + 6x)\\ = – 18(6{x^2} + 12x – 18)\\ = – 18.6({x^2} + 2x – 3)\\ = – 108({x^2} + 2x – 3)\\ = – 108({x^2} – x + 3x – 3)\\ = – 108\left[ {x(x – 1) + 3(x – 1)} \right]\\ = – 108(x + 3)(x – 1)\end{array}$

Khi đó, m = -108; n = 3 $\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{ – 108}}{3} = – 36$

Câu 19 :

Cho $x = 20-y$ . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức $B = {x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}\; + {x^2}\; + 2xy + {y^2}$

A.
$B < 8300$ .
B.
$B > 8500$ .
C.
$B < 0$ .
D.
$B > 8300$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{B = {x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}\; + {x^2}\; + 2xy + {y^2}}\\{ = \left( {{x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}} \right) + \left( {{x^2}\; + 2xy + {y^2}} \right)}\\{ = {{\left( {x + y} \right)}^3}\; + {{\left( {x + y} \right)}^2}\; = {{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {x + y + 1} \right)}\end{array}$

Vì $x = 20-y$ nên $x + y = 20$ . Thay $x + y = 20$ vào $B = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {x + y + 1} \right)$ ta được:

$B = {\left( {20} \right)^2}\left( {{\rm{20 }} + 1} \right) = 400.21 = 8400$ .

Vậy $B > 8300$ khi $x = 20-y$ .

Câu 20 :

Hiệu bình phương các số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho

A.
7.
B.
8.
C.
9.
D.
10.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

${A^2} – {B^2} = (A – B)(A + B)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k-1;2k + 1(k \in N*)$

Theo bài ra ta có:

${\left( {2k + 1} \right)^{2}}-{\left( {2k-1} \right)^{2}} = 4{k^2} + 4k + 1-4{k^2} + 4k-1 = 8k \vdots 8,\forall k \in \mathbb{N}*$

Câu 21 :

Giá trị của x thỏa mãn $5{x^2} – 10x + 5 = 0$ là

A.
$x = 1$ .
B.
$x = – 1$ .
C.
$x = 2$ .
D.
$x = 5$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}5{x^2} – 10x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 5({x^2} – 2x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow {(x – 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x – 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Câu 22 :

Cho ${x^2}\;-4{y^2}\;-2x-4y = \left( {x + my} \right)\left( {x-2y + n} \right)$ với $m,n \in \mathbb{R}$ . Tìm m và n.

A.
$m = 2,n = 2$
B.
$m = – 2,n = 2$
C.
$m = 2,n = – 2$
D.
$m = – 2,n = – 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}\;-4{y^2}\;-2x-4y}\\{ = \left( {{x^2}\;-4{y^2}} \right)-\left( {2x + 4y} \right)}\\{ = \left( {x-2y} \right)\left( {x + 2y} \right)-2\left( {x + 2y} \right)}\\{ = \left( {x + 2y} \right)\left( {x-2y-2} \right)}\end{array}$

Suy ra m = 2, n = -2

Câu 23 :

Tính giá trị của biểu thức $A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + x-1$ tại $x = 5$ .

A.
$A = 20\;$ .
B.
$A = {\rm{ 4}}0\;$ .
C.
$A = {\rm{ 16}}\;$ .
D.
$A = 28$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + x-1\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + \left( {x-1} \right)}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3 + 1} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)[{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 1]}\end{array}\end{array}$

Tại x = 5, ta có:

$A = \left( {5-1} \right)[{\left( {5-2} \right)^2}\; + 1] = 4.({3^2}\; + 1) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40$

Câu 24 :

Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn ${\left( {2x-5} \right)^2}\;-4{\left( {x-2} \right)^2}\; = 0$ ?

A.
$2$ .
B.
$1$ .
C.
$0$ .
D.
$4$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-4{{\left( {x-2} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left[ {2\left( {x-2} \right)} \right]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {2x-5 + 2x-4} \right)\left( {2x-5-2x + 4} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {4x-9} \right).\left( { – 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow – 4x + 9 = 0}\\{ \Leftrightarrow 4x = 9}\\{ \Leftrightarrow x = \;\frac{9}{4}}\end{array}$

Câu 25 :

Tính giá trị của biểu thức $A = {x^6} – {x^4} – x({x^3} – x)$ biết ${x^3} – x = 9$

A.
$A = 0$ .
B.
$A = 9$ .
C.
$A = 27$ .
D.
$A = 81$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^6} – {x^4} – x({x^3} – x)\\ = {x^3}.{x^3} – {x^3}.x – x\left( {{x^3} – x} \right)\\ = {x^3}({x^3} – x) – x({x^3} – x)\\ = \left( {{x^3} – x} \right)\left( {{x^3} – x} \right)\\ = {\left( {{x^3} – x} \right)^2}\end{array}$

Với ${x^3} – x = 9$ , giá trị của biểu thức $A = {9^2} = 81$

Câu 26 :

Cho biểu thức $A = {7^{19}} + {7^{20}} + {7^{21}}$ . Khẳng định nào đúng cho biểu thức A.

A.
A không chia hết cho 7.
B.
A chia hết cho 2.
C.
A chia hết cho 57.
D.
A chia hết cho 114.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích biểu thức A thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {7^{19}} + {7^{20}} + {7^{21}}\\ = {7^{19}} + {7^{19}}.7 + {7^{19}}{.7^2}\\ = {7^{19}}.(1 + 7 + {7^2})\\ = {7^{19}}.57\end{array}$

Do ${7^{19}} \vdots 7 \Rightarrow {7^{19}}.57 \vdots 7$ (A sai)

Ta có ${7^{19}}$ là số lẻ, 57 là số lẻ nên tích ${7^{19}}.57$ là số lẻ $\Rightarrow {7^{19}}.57$ không chia hết cho 2. (B sai)

A chia hết cho 57. (C đúng)

A chia hết cho 57 nhưng A không chia hết cho 2 nên A không chia hết cho 57.2 = 114 (D sai)

Câu 27 :

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}$ là các giá trị thỏa mãn $4{\left( {2x-5} \right)^2}\;-9{(4{x^2}\;-25)^2}\; = 0$ . Khi đó ${x_1}\; + {x_2}\; + {x_3}$ bằng

A.
$– 3$ .
B.
$– 1$ .
C.
$\frac{{ – 5}}{3}$ .
D.
$1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng đẳng thức đặc biệt

${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; – 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; – ab – bc – ac} \right)$ ;

Ta thấy a + b + c = 0 nên ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}4{\left( {2x-5} \right)^2}\;-9{(4{x^2}\;-25)^2}\; = 0\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{[{{\left( {2x} \right)}^2}\;-{5^2}]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{\left[ {\left( {2x-5} \right)\left( {2x + 5} \right)} \right]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{\left( {{\rm{2x }}-5} \right)}^2}{{\left( {2x + 5} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}[4-9{{\left( {2x + 5} \right)}^2}] = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}[4-{{\left( {3\left( {2x + 5} \right)} \right)}^2}] = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}({2^2}\;-{{\left( {6x + 15} \right)}^2}) = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {3x-5} \right)}^2}\left( {2 + {\rm{ 6}}x + 15} \right)\left( {2-{\rm{ 6}}x-15} \right) = 0}\\\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3x-5} \right)^2}\left( {6x + 17} \right)\left( { – 6x-13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{5}{3}\\x = \frac{{ – 17}}{6}\\x = \frac{{13}}{6}\end{array} \right.\end{array}\end{array}\end{array}$

Suy ra ${x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{5}{3} – \frac{{17}}{6} + \frac{{13}}{6} = \frac{{10 – 17 + 13}}{6} = 1$

Câu 28 :

Với a³ + b³ + c³ = 3abc thì

A.
$a = b = c$ .
B.
$a + b + c = 1$ .
C.
$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$ .
D.
$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng đẳng thức đặc biệt

${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; – 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; – ab – bc – ac} \right)$ ;

Lời giải chi tiết :

Từ đẳng thức đã cho suy ra ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; – 3abc = 0$

${b^3}\; + {c^3}\; = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2}\; + {c^2}\; – bc} \right)$ $= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}\; – 3bc} \right]$ $= {\left( {b + c} \right)^3}\; – 3bc\left( {b + c} \right)$ $\Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; – 3abc = {a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) – 3abc$ $= {a^3}\; + {\left( {b + c} \right)^3} – 3bc\left( {b + c} \right) – 3abc$ $= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) – \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]$ $= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) – 3bc\left( {a + b + c} \right)$ $= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; – a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}\; – 3bc} \right)$ $= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; – ab\; – ac + {b^2}\; + 2bc + {c^2}\; – 3bc} \right)$ $= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; – ab – ac – bc} \right)$

Do đó nếu ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) – 3abc = 0$ thì $a + b + c\; = 0$ hoặc ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; – ab – ac – bc = 0$

Mà ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; – ab – ac – bc = \left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2}\; + {{\left( {a – c} \right)}^2}\; + {{\left( {b – c} \right)}^2}} \right]$

Nếu ${\left( {a – b} \right)^2}\; + {\left( {a – c} \right)^2}\; + {\left( {b – c} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a – b = 0}\\{b – c = 0}\\{a – c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = c$

Vậy ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) = 3abc$ thì $a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$ .

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE