3. Đề thi giữa kì 2 – Đề số 3

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Nếu tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$ và $G$ là trọng tâm thì

A. $AG = GM$                      

B.$GM = \dfrac{1}{2}AG$      

C. $AG = \dfrac{1}{3}AM$     

D. $AM = 2.AG$

Câu 2: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết khi $x = 5$ thì $y = 10$. Vậy khi $x = 2$ thì $y$ bằng bao nhiêu?

A. $2$                                    

B. $25$                                             

C. $10$                                             

D.$20$

Câu 3. Cho $\Delta ABC,{\mkern 1mu} \hat A = {70^^\circ }$, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại $O$, thế thì:

A. $\widehat {BOC} = {120^^\circ }$.                                

B. $\widehat {BAO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$.          

C. $\widehat {BOC} = {160^^\circ }$.                                

D. $\widehat {BAO} < {30^^\circ }$.

Câu 4: Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì:

A. $I$cách đều ba cạnh của tam giác.                            

B. $I$là trọng tâm của tam giác.                                     

C. $I$cách đều ba đỉnh của tam giác.                             

D. $I$ là trực tâm của tam giác.

Câu 5: Tính chất nào sau đây không phải của tam giác$ABC$cân tại $C$:

A. Trung tuyến $AM$và $BN$của tam giác $ABC$ bằng nhau.                               $5m$

B. $\angle A < {90^o}$.         

C. $AC > AB$.                       

D. $\angle A = \angle B$

Câu 6.  dây đồng nặng $43g$. Hỏi $10km$ dây đồng như thế nặng bao nhiêu kilôgam?

A. $86kg$     

B. $84kg$     

C. $76kg$     

D. $72kg$

Câu 7. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi $x = \dfrac{{ – 1}}{2}$ thì $y = 8$. Khi đó hệ số tỉ lệ a và công thức biểu diễn y theo x là:

A. $a =  – 4;\,y =  – 4x$

B. $a =  – 16;\,y = \dfrac{{ – 16}}{x}$    

C. $a =  – 4;\,y = \dfrac{{ – 4}}{x}$       

D. $a = 8;\,y = 8x$

Câu 8. Cho hai tam giác $ABC$ và $CDB$ có cạnh chung $BD$. Biết $AB = DC;AD = CB$. Phát biểu nào sau đây sai:

A. $\Delta ABC = \Delta CDA$             

B. $\angle ABC = \angle CDA$            

C. $\angle BAC = \angle DAC$            

D. $\angle BCA = \angle DAC$

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (2 điểm) Tìm $x$ biết:

a) $– 0,1:x =  – 0,2:0,06$            

b) $\dfrac{{2 – x}}{4} = \dfrac{{3x – 1}}{3}$

c) $\dfrac{{2x – 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x – 1}}$

Bài 2. (2 điểm) Ba đơn vị kinh doanh A, B và C góp vốn theo tỉ lệ $2\,\,:3\,\,:\,\,7$ sau một năm thu được tổng cộng $960$ triệu đồng tiền lãi. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi biết tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã góp.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho $\Delta ABC$cân tại $A$, tia phân giác của $\angle BAC$ cắt cạnh $BC$tại $D$. Kẻ $DH$vuông góc với $AB$tại $H$, kẻ $DK$vuông góc với $AC$tại $K$.

a) Chứng minh: $\Delta AHD = \Delta AKD$

b) Tia $KD$cắt tia $AB$tại $M$, tia $HD$cắt tia $AC$tại $N$. Chứng minh: $HM = KN$

c) Chứng minh: $AD \bot MN$và $BC//MN$

d) Gọi $I$là giao điểm của $AD$và $MN$. Qua $I$kẻ đường thẳng d song song với $AM$, đường thẳng $d$cắt $AN$tại $E$. Chứng minh: $IE = \dfrac{1}{2}AM$

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm tất cả các số $x,y,z$ biết $\dfrac{z}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{z}{{x + y – 3}} = x + y + z$.

Phương pháp giải:

I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Nếu tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$ và $G$ là trọng tâm thì

A. $AG = GM$                      

B.$GM = \dfrac{1}{2}AG$      

C. $AG = \dfrac{1}{3}AM$     

D. $AM = 2.AG$

Câu 2: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết khi $x = 5$ thì $y = 10$. Vậy khi $x = 2$ thì $y$ bằng bao nhiêu?

A. $2$                                   

B. $25$                                             

C. $10$                                             

D.$20$

Câu 3. Cho $\Delta ABC,{\mkern 1mu} \hat A = {70^^\circ }$, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại $O$, thế thì:

A. $\widehat {BOC} = {120^^\circ }$.                                

B. $\widehat {BAO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$.          

C. $\widehat {BOC} = {160^^\circ }$.                                

D. $\widehat {BAO} < {30^^\circ }$.

Câu 4: Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì:

A.$I$cách đều ba cạnh của tam giác.                            

B. $I$là trọng tâm của tam giác.                                     

C. $I$cách đều ba đỉnh của tam giác.                             

D. $I$ là trực tâm của tam giác.

Câu 5: Tính chất nào sau đây không phải của tam giác$ABC$cân tại $C$:

A. Trung tuyến $AM$và $BN$của tam giác $ABC$ bằng nhau.                               $5m$

B.$\angle A < {90^o}$.         

C.$AC > AB$.                       

D.$\angle A = \angle B$

Câu 6.  dây đồng nặng $43g$. Hỏi $10km$ dây đồng như thế nặng bao nhiêu kilôgam?

A. $86kg$     

B. $84kg$     

C. $76kg$     

D. $72kg$

Câu 7. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi $x = \dfrac{{ – 1}}{2}$ thì $y = 8$. Khi đó hệ số tỉ lệ a và công thức biểu diễn y theo x là:

A. \(a =  – 4;\,y =  – 4x\)

B. \(a =  – 16;\,y = \dfrac{{ – 16}}{x}\)    

C. \(a =  – 4;\,y = \dfrac{{ – 4}}{x}\)       

D. $a = 8;\,y = 8x$

Câu 8.Cho hai tam giác $ABC$ và $CDB$ có cạnh chung $BD$. Biết $AB = DC;AD = CB$. Phát biểu nào sau đây sai:

A. $\Delta ABC = \Delta CDA$             

B. $\angle ABC = \angle CDA$           

C. $\angle BAC = \angle DAC$           

D. $\angle BCA = \angle DAC$

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (2 điểm) Tìm $x$ biết:

a) \( – 0,1:x =  – 0,2:0,06\)            

b) $\dfrac{{2 – x}}{4} = \dfrac{{3x – 1}}{3}$

c) $\dfrac{{2x – 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x – 1}}$

Bài 2. (2 điểm)Ba đơn vị kinh doanh A, B và C góp vốn theo tỉ lệ $2\,\,:3\,\,:\,\,7$ sau một năm thu được tổng cộng $960$ triệu đồng tiền lãi. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi biết tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã góp.

Bài 4. (3,5 điểm)Cho $\Delta ABC$cân tại $A$, tia phân giác của $\angle BAC$ cắt cạnh $BC$tại $D$. Kẻ $DH$vuông góc với $AB$tại $H$, kẻ $DK$vuông góc với $AC$tại $K$.

a) Chứng minh: $\Delta AHD = \Delta AKD$

b) Tia $KD$cắt tia $AB$tại $M$, tia $HD$cắt tia $AC$tại $N$. Chứng minh: $HM = KN$

c) Chứng minh: $AD \bot MN$và $BC//MN$

d) Gọi $I$là giao điểm của $AD$và $MN$. Qua $I$kẻ đường thẳng d song song với $AM$, đường thẳng $d$cắt $AN$tại $E$. Chứng minh: $IE = \dfrac{1}{2}AM$

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm tất cả các số $x,y,z$ biết $\dfrac{z}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{z}{{x + y – 3}} = x + y + z$.

Lời giải

I. Trắc nghiệm

Câu 1:

Phương pháp:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Cách giải:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM;GM = \dfrac{1}{3}AM;AG = 2GM$

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Cách giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau $\Rightarrow y = \dfrac{a}{x}\left( {a \ne 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = \dfrac{a}{5} \Rightarrow a = 10.5 = 50$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ so với $x$ là $50$.

Ta có: $y = \dfrac{{50}}{x}$, khi $x = 2$ thì $y = \dfrac{{50}}{2} = 25$.

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp: 

Sử dụng tính chất tia phân giác của góc và định lí tổng 3 góc trong một tam giác.

Cách giải:

Ta có: $\widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \widehat {{B_1}} – \widehat {{C_1}}$.

Vì BD và CE lần lượt là các tia phân giác của góc B và C nên ta có: $\widehat {{B_1}} = \dfrac{{\hat B}}{2};{\mkern 1mu} \widehat {{C_1}} = \dfrac{{\hat C}}{2}$.

Trong tam giác ABC ta có: $\hat B + \hat C = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \hat A = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – {70^^\circ }{\rm{ \;}} = {110^^\circ }$.

$\Rightarrow \widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \widehat {{B_1}} – \widehat {{C_1}} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \dfrac{{\hat B + \hat C}}{2} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – {55^^\circ }{\rm{ \;}} = {125^^\circ }$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc.

+ Giao của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

+ Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Cách giải:

Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì $I$cách đều ba cạnh của tam giác.

Chọn A.

Câu 5

Phương pháp:

+ Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác cân có hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng ${180^o}$

Cách giải:

+ Theo tính chất của tam giác cân thì A, D đúng.

+ Ta có $\angle A = \angle B = \dfrac{{{{180}^o} – \angle C}}{2} < {90^o}$ . Vậy B đúng.

+ Tam giác ABC cân tại C thì $AC > AB$hoặc $AC \le AB$. Vậy đáp án C sai.

Chọn C.

Câu 6.

Phương pháp:

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên lập được dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm được $x$.

Cách giải:

Đổi $10km = 10\,000m$

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên ta có:

$\dfrac{{43}}{5} = \dfrac{x}{{10\,000}}$

Suy ra $x = \dfrac{{43}}{5}.10\,000 = 86\,000\left( g \right) = 86\left( {kg} \right)$

Vậy $10km$ dây đồng nặng $86kg$

Chọn A.

Câu 7.

Phương pháp:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ hay $x.y = a$ (a là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Cách giải:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên hệ số tỉ lệ $a = {x_1}.{y_1} = \dfrac{{ – 1}}{2}.8 =  – 4$

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a =  – 4$ nên $y = \dfrac{{ – 4}}{x}$

Vậy công thức biểu diễn y theo x là $y = \dfrac{{ – 4}}{x}$

Vậy $a =  – 4$, $y = \dfrac{{ – 4}}{x}$.

Chọn C.

Câu 8.

Phương pháp:

Vận dụng định lí: Nếu ba cạnh của tam giác bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Cách giải:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có:

$AB = CD$ (giả thiết)

$AD = BC$ (giả thiết)

$BD$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta ABC = \Delta CDA\,\left( {c.c.c} \right)$

Do đó, $\angle ABC = \angle CDA;\angle BAC = \angle DCA;\angle BCA = \angle DAC$ (hai góc tương ứng)

Vậy đáp án C là sai.

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1.

Phương pháp

Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a.d = b.c$ từ đó tìm $x$

Cách giải:

a) $– 0,1:x =  – 0,2:0,06$

$\begin{array}{l}\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 0,2}}{{0,06}}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 1}}{5}:\dfrac{3}{{50}}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 1}}{5}.\dfrac{{50}}{3}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 10}}{3}\end{array}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

$\begin{array}{l} – 0,1.3 =  – 10x\\ – 0,3 =  – 10x\\x =  – 0,3:\left( { – 10} \right)\\x = \dfrac{{ – 3}}{{10}}.\left( {\dfrac{1}{{ – 10}}} \right)\\x = \dfrac{3}{{100}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{{100}}$

b) $\dfrac{{2 – x}}{4} = \dfrac{{3x – 1}}{3}$        

$\begin{array}{l}3\left( {2 – x} \right) = 4\left( {3x – 1} \right)\\6 – 3x = 12x – 4\\ – 3x – 12x =  – 4 – 6\\ – 15x =  – 10\\x = \dfrac{2}{3}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{2}{3}$

c) $\dfrac{{2x – 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x – 1}}$

$\begin{array}{l}{\left( {2x – 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x – 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x =  – 4$

Câu 2

Phương pháp:

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C  lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z \in \mathbb{N}$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.

Cách giải:

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C  lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z > 0$)

Theo bài ra, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7}\\x + y + z = 960\end{array} \right.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 7}} = \dfrac{{960}}{{12}} = 80$

Khi đó, $\dfrac{x}{2} = 80 \Rightarrow x = 160$ (tmđk)

$\dfrac{y}{3} = 80 \Rightarrow y = 240$ (tmđk)

$\dfrac{z}{7} = 80 \Rightarrow y = 560$ (tmđk)

Vậy số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh là: Đơn vị A: 160 triệu đồng, đơn vị B: 240 triệu đồng, đơn vị C: 560 triệu đồng.

Bài 3.

Phương pháp:

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

+ Các định lí từ vuông góc tới song song.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

Cách giải:

a) Xét hai tam giác vuông$\Delta AHD$và$\Delta AKD$có:

+ $AD$chung

+ $\angle HAD = \angle KAD$ (vì$AD$là tia phân giác của $\angle BAC$)

$\Rightarrow \Delta AHD =$ (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Theo a) $\Delta AHD =$$\Delta AKD$$\Rightarrow$$AH = AK$(hai cạnh tương ứng)    (1)

Xét hai tam giác vuông$\Delta AMK$và$\Delta ANH$có:

+ $\angle A$chung

+$AH = AK$

+ $\angle AKM = \angle AHN = {90^o}$

$\Rightarrow$$\Delta AMK = \Delta ANH$(g.c.g)

$\Rightarrow$$AM = AN$    (2)

Mà $\begin{array}{l}AM = AH + HM\\AN = AK + KN\end{array}$                                    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $HM = KN$ (đpcm)

c) + Do $AM = AN$$\Rightarrow \Delta AMN$cân tại $A$

Vì $AD$là tia phân giác của góc $A$nên suy ra $AD$đồng thời là đường cao trong $\Delta AMN$ứng với cạnh $MN$.

$\Rightarrow AD \bot MN$ (đpcm).    (4)

+ $\Delta ABC$có $AD$là tia phân giác của góc $A$nên suy ra $AD$đồng thời là đường cao ứng với cạnh $BC$.

$\Rightarrow AD \bot BC$                               (5)

Từ (4), (5) suy ra $MN//BC$ (đpcm)

d) + Đường thẳng d song song với $AM$

$\Rightarrow$$\angle AMN = \angle EIN$(hai góc ở vị trí so le trong)                     (7)

Mặt khác $\Delta AMN$cân tại $A$$\Rightarrow$$\angle AMN = \angle ANM$                (8)

Từ (7) và (8) suy ra: $\angle EIN = \angle ANM = \angle ENI$

$\Rightarrow$$\Delta ENI$cân tại $E$

$\Rightarrow$$EI = EN$                                            (9)

+ Đường thẳng d song song với $AM$

$\Rightarrow$$\angle EIA = \angle MAI{\rm{     }}\left( { = \angle AIE} \right)$

$\Rightarrow$$\Delta EAI$cân tại $E$

$\Rightarrow$$EI = EA$                                            (10)

Từ (9) và (10) suy ra: $EI = EN = EA = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{2}AM \Leftrightarrow EI = \dfrac{1}{2}AM$ (đpcm)

Bài 4.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{z}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{z}{{x + y – 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 2 + x + y – 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2x + 2y + 2z}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{1}{2}$

Khi đó, $x + y + z = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

$\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x – y – z = 1\,\,\,\left( 2 \right)$

$\dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2y – x – z = 2\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow y + z = \dfrac{1}{2} – x$ thay vào (2), ta được: $2x – \left( {\dfrac{1}{2} – x} \right) = 1 \Rightarrow 3x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow x + z = \dfrac{1}{2} – y$ thay vào (3), ta được: $2y – \left( {\dfrac{1}{2} – y} \right) = 2 \Rightarrow 3y = \dfrac{5}{2} \Rightarrow y = \dfrac{5}{6}$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} – \left( {x + y} \right) = \dfrac{1}{2} – \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}} \right) \Rightarrow z = \dfrac{{ – 5}}{6}$

Vậy $x = \dfrac{1}{2}\,\,;\,\,y = \dfrac{5}{6}\,\,;\,\,z = \dfrac{{ – 5}}{6}$.