Giải bài 2.50 trang 43 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một dãy số \(({u_n})\) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

\({u_1} = a,\,\,{u_{n + 1}} = q{u_n} + d\)

Nếu \(q = 1\) ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu \(d = 0\) ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử \(q \ne 1\). Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

b) Thiết lập công thức tính tổng \({S_n}\)của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết

Ta viết lần lượt các số hạng của dãy

\(\begin{array}{l}{u_1} = a,\,\\{u_2} = q{u_1} + d\\{u_3} = q{u_2} + d = q\left( {q{u_1} + d} \right) + d = {q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)\\{u_4} = q{u_3} + d = q\left( {{q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)} \right) + d = {q^3}{u_1} + d\left( {{q^2} + q + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {q^3}{u_1} + d\frac{{1 – {q^3}}}{{1 – q}}.\end{array}\)

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát

\({u_n}\, = {q^{n – 1}}{u_1} + d\frac{{1 – {q^{n – 1}}}}{{1 – q}}.\)

b) Ta viết tổng n số hạng như sau:

\(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1} + \left( {q{u_1} + d} \right) + \left( {q{u_2} + d} \right) + …\left( {q{u_{n – 1}} + d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + q{S_{n – 1}} + (n – 1)d\end{array}\)

Vậy ta được \({S_n}\) cũng là một cấp số nhân cộng với \({S_1} = {u_1}\)

Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được

\({S_n}\, = {q^{n – 1}}{S_1} + d\frac{{1 – {q^{n – 1}}}}{{1 – q}} = {q^{n – 1}}{u_1} + d\frac{{1 – {q^{n – 1}}}}{{1 – q}}.\)