Bài 5 trang 16 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Xét sự tương đương của các cặp hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}2x – y =  – 1\\x – y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  – 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  – 3\\2x + 2y =  – 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\2x – 4y = 2\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$  và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a)

Hai đường thẳng $2x – y =  – 1$ và $x – y = 2$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( { – 3; – 5} \right) \Rightarrow$ Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x – y =  – 1\\x – y = 2\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { – 3; – 5} \right)$.

$x + 2y =  – 2 \Leftrightarrow 2y =  – x – 2$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ – 1}}{2}x – 1\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$2x + 4y = 1 \Leftrightarrow 4y =  – 2x + 1$$\,\Leftrightarrow y = \dfrac{{ – 1}}{2}x + \dfrac{1}{4}\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right) \Rightarrow$ Hai đường thẳng này không cắt nhau, do đó hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  – 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$  vô nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x – y =  – 1\\x – y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  – 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$ không tương đương.

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  – 3\\2x + 2y =  – 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\2x – 4y = 2\end{array} \right.$

$x + y =  – 3 \Rightarrow y =  – x – 3\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$2x + 2y =  – 6 \Leftrightarrow x + y =  – 3$$\, \Leftrightarrow y =  – x – 3\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Ta có : $\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow$ Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  – 3\\2x + 2y =  – 6\end{array} \right.$ vô số nghiệm.

$x – 2y = 1 \Leftrightarrow 2y = x – 1$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);$

$2x – 4y = 2 \Leftrightarrow x – 2y = 1$$\, \Leftrightarrow 2y = x – 1$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_4}} \right)$

Ta có : $\left( {{d_3}} \right) \equiv \left( {{d_4}} \right) \Rightarrow$Hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ và $\left( {{d_4}} \right)$ cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ $\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\2x – 4y = 2\end{array} \right.$ vô số nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  – 3\\2x + 2y =  – 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\2x – 4y = 2\end{array} \right.$ tương đương.

c) $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$  và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$

$x – y = 0 \Leftrightarrow y = x\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$x + y = 2 \Leftrightarrow y =  – x + 2\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right) \Rightarrow$ Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

$x + 2y = 3 \Leftrightarrow 2y =  – x + 3$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ – 1}}{2}x + \dfrac{3}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);$

$2x + y = 3 \Leftrightarrow y =  – 2x + 3\,\,\left( {{d_4}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ và $\left( {{d_4}} \right)$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right)$ nên hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$ tương đương.

 Sachgiaihay.com