Bài 2.16 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 2}}\)

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.

b) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng và bị chặn.

Lời giải chi tiết

a) \({u_1} = \frac{{3.1 – 1}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3};{u_2} = \frac{{3.2 – 1}}{{2 + 2}} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{{3.3 – 1}}{{3 + 2}} = \frac{8}{5};{u_4} = \frac{{3.4 – 1}}{{4 + 2}} = \frac{{11}}{6};{u_5} = \frac{{3.5 – 1}}{{5 + 2}} = 2\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 2}} = 3 – \frac{7}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = 3 – \frac{7}{{n + 3}} – 3 + \frac{7}{{n + 2}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} – \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Ta có: \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{7}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 3 – \frac{7}{{n + 2}} < 3 \Rightarrow {u_n} < 3\)

Dãy số vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên thì bị chặn.