Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:

a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)

b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10

c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)

Lời giải chi tiết

a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right) \Rightarrow c = 3\)

+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right) \Rightarrow a = 2\)

Khi đó \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {3^2} – {2^2} = 5\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10

+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4\)

+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 \( \Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5\)

Khi đó \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {5^2} – {4^2} = 9\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)

+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\)

+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{7}{9} \Rightarrow {b^2} = \frac{7}{9}{a^2}\)

Với \(c = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9}{b^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{{16}}{9}{b^2} = 16 \Rightarrow {b^2} = 9 \Rightarrow {a^2} = 7\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)