Bài 11 trang 72 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường tròn bằng nhau $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Kẻ các đường kính $AOC, AO’D$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AC$ với đường tròn $(O’)$.

a) So sánh các cung nhỏ $\overparen{BC}, \overparen{BD}$.

b) Chứng minh rằng $B$ là điểm chính giữa của cung $\overparen{EBD}$ ( tức điểm $B$ chia cung $\overparen{EBD}$ thành hai cung bằng nhau: $\overparen{BE}$ =  $\overparen{BD}$ ).

Lời giải chi tiết

a) Vì $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ nên $OO’ \bot AB$ (định lý)

Xét tam giác $ADC$ có $OO’$ là đường trung bình (vì $O$ là trung điểm $AC,O’$ là trung điểm $AD$) nên $OO’//CD$ , suy ra $AB \bot CD$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác $ADC$ có $AC = AD$ (vì hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ có cùng bán kính) nên $\Delta ACD$ cân tại $A$ có $AB$ là đường cao nên $AB$ cũng là đường trung tuyến, suy ra $BC = BD$ hay  $\overparen{BC}$ =$\overparen{BD}$  (vì $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ là hai đường tròn bằng nhau).

b) Vì $A,E,D$ cùng thuộc đường tròn (O’) nên O’E = O’A=O’D = $\frac{1}{2}AD$ nên tam giác $AED$ vuông tại $E$ (Đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông)

$\Rightarrow  \widehat {AED} \widehat {DEC} = 90^\circ .$

Xét tam giác $DEC$ vuông tại $E$ có $B$ là trung điểm của CD (cmt)$\Rightarrow EB = \dfrac{{DC}}{2} = BD = EB$ (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Suy ra  $\overparen{EB}$=$\overparen{BD}$ (2 dây bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau), do đó $B$ là điểm chính giữa cung $ED.$.