Giải bài 5 trang 72 sách bài tập toán 8 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Lấy E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho $AE = BF = CG = DH = a$; $BE = CF = DG = AH = b$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính diện tích tứ giác EFGH theo a và b.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0}$

Tam giác HAE và tam giác EBF có:

$\widehat A = \widehat B = {90^0},AE = BF\left( { = a} \right),AH = BE\left( { = b} \right)$

Do đó, $\Delta HAE = \Delta EBF\left( {cgv – cgv} \right)$, suy ra $HE = FE$, $\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_2}}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\Delta HAE = \Delta GDH\left( {cgv – cgv} \right)$ nên $HE = HG$

$\Delta FCG = \Delta GDH\left( {cgv – cgv} \right)$ nên $GF = HG$

Do đó, $HE = FE = HG = GF$. Suy ra, tứ giác EFGH là hình thoi (1)

Ta có: $\widehat {{E_2}} + \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}} + \widehat {{E_1}} = {90^0}$. Do đó, $\widehat {{E_3}} = {90^0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EFGH là hình vuông.

b) Diện tích hình vuông ABCD là: ${S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$

Diện tích tam giác vuông AHE là: ${S_{AHE}} = \frac{1}{2}AH.AE = \frac{1}{2}ab$

Tương tự ta có: ${S_{HGD}} = {S_{GFC}} = {S_{EBF}} = \frac{1}{2}ab$

Do đó: ${S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} – \left( {{S_{HGD}} + {S_{GFC}} + {S_{EBF}} + {S_{AHE}}} \right)$

$= {\left( {a + b} \right)^2} – 4.\frac{1}{2}ab = {a^2} + 2ab + {b^2} – 2ab = {a^2} + {b^2}$